2023-2024 学年《微积分（甲）Ⅰ》期中试卷归档

2023-2024 学年期中试卷：题目、详细解析与知识点总结。

来源：题目转录标注为《微积分甲期中卷.pdf》第 9–10 页。跨年度复习建议见 期中复习指南；返回 微积分历年卷索引。

本卷共 14 题。考试时间和各题分值在现有转录中未标注。本档依据现有转录整理题目，并补充完整解析；不另行推定原卷未标明的信息。

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根据归档题目整理的练习版，非原卷扫描件；仅含题目，并留有作答空间。

第一部分：题目

1.

叙述函数极限 \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A\in\mathbb{R}\) 的“\(\varepsilon-\delta\)”定义，并利用“\(\varepsilon-\delta\)”语言证明：\(\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x+2}{2x+1}=1\).

2.

计算极限 \(\lim\limits_{x\to 0}\left[\sqrt{\cos\ln(1-2x)}\right]^{\frac{1}{x^2}}\).

3.

计算极限 \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sqrt[3]{1+3x^3}-1+x^4\cos\frac{1}{x}}{\ln(1+2x)\cdot\tan^2 x}\).

4.

当 \(x\to 1\) 时，\(1-\dfrac{m}{1+x+x^2+\dots+x^{m-1}}\) 是 \((x-1)\) 的等价无穷小量（\(m\in\mathbb{N}\)），求常数 \(m\) 的值.

5.

计算极限 \(\lim\limits_{n\to\infty}\left(\dfrac{1}{n^2+1+\sin 1}+\dfrac{2}{n^2+1+\sin 2}+\dots+\dfrac{n}{n^2+1+\sin n}\right)\).

6.

设函数 \(y=y(x)\) 是由方程 \(x^2+y=\tan(x-y)\) 所确定，且 \(y(0)=0\). 求 \(y'(0)\) 和 \(y''(0)\).

7.

已知 \(y=x\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)-\sqrt{x^2+1}\)，求 \(\dfrac{dy}{dx}\)，\(\dfrac{d^2y}{dx^2}\).

8.

设 \(y=\arctan\dfrac{x+1}{x-1}+\ln\sqrt{1+x^2}\)，求 \(dy\) 与 \(dy\big|_{x=3}\).

9.

设 \(f(x)=\begin{cases} x^2\sin\dfrac{1}{x}+e^{2x}, & (x<0) \\ ax+b. & (x\ge 0) \end{cases}\)

1. 求常数 \(a,b\) 的值使 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 处可导； (2) 计算 \(f'(x)\)（\(x\in\mathbb{R}\)）.

2. 试问 \(f''(0)\) 是否存在？为什么？

10.

已知 \(f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{1+x}}\)，求 \(f^{(6)}(0)\).

11.

设函数 \(y=y(x)\) 由参数方程 \(\begin{cases} x=t-\sin t, \\ y=1-\cos t \end{cases}\) 所确定.

1. 试求曲线 \(y=y(x)\) 在 \(t=\dfrac{\pi}{2}\) 处的切线方程； (2) 计算 \(y''(x)\).

12.

设 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上连续，在 \((0,1)\) 内可导，且 \(f(0)=0\)，\(f(1)=1\).

证明：(1) \(\exists c\in(0,1)\) 使得 \(f(c)=\dfrac{3}{2023}\)； (2) \(\exists\xi\ne\eta\in(0,1)\) 使得 \(\dfrac{3}{f'(\xi)}+\dfrac{2020}{f'(\eta)}=2023\).

13.

设函数 \(f_n(x)=x^n+x^{n-1}+\dots+x-1\)（\(n\in\mathbb{N}^+\)）.

1. 证明方程 \(f_n(x)=0\) 有唯一正根 \(x_n\)； (2) 证明数列 \(\{x_n\}\) 收敛并计算 \(\lim\limits_{n\to+\infty}x_n\).

14.

1. 结合自己的情况谈谈如何学好《微积分》课程.

2. 你对《微积分》任课教师上课与助教的习题课有什么要求？

（要求：上面两个问题的回答均不少于100字.）

第二部分：详细解析

解析 1：函数极限定义与证明

题目

叙述函数极限 \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A\in\mathbb{R}\) 的“\(\varepsilon-\delta\)”定义，并利用“\(\varepsilon-\delta\)”语言证明：\(\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x+2}{2x+1}=1\).

答案 \(\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{x+2}{2x+1}=1\)。

详细解析

函数极限 \(\lim_{x\to x_0}f(x)=A\) 的定义是：对每个 \(\varepsilon>0\)，都存在 \(\delta>0\)，使定义域内所有满足 \(0<|x-x_0|<\delta\) 的 \(x\) 都有 \(|f(x)-A|<\varepsilon\)。

本题先限制 \(|x-1|<1/2\)，则 \(x>1/2\)，\(|2x+1|>2\)。因此

\[\left|\frac{x+2}{2x+1}-1\right|=\frac{|x-1|}{|2x+1|}<\frac12|x-1|.\]

给定 \(\varepsilon>0\)，取 \(\delta=\min\{1/2,2\varepsilon\}\)。当 \(0<|x-1|<\delta\) 时，上述误差小于 \(\varepsilon\)，所以极限为 \(1\)。

知识点与易错点 先限制邻域使分母远离零，再确定依赖 ε 的 δ。

解析 2：对数与三角复合的幂指极限

题目

计算极限 \(\lim\limits_{x\to 0}\left[\sqrt{\cos\ln(1-2x)}\right]^{\frac{1}{x^2}}\).

答案 \(e^{-1}\)。

详细解析

令 \(u=\ln(1-2x)\)，当 \(x\to0\) 时 \(u\sim-2x\)，且 \(\cos u>0\)。原式的对数为

\[\frac{\ln\cos u}{2x^2}.\]

利用 \(\ln(1+v)\sim v\) 和 \(\cos u-1\sim-u^2/2\)，有 \(\ln\cos u\sim-u^2/2\)。所以

\[\frac{\ln\cos u}{2x^2}\to-\frac14\lim_{x\to0}\frac{u^2}{x^2}=-1.\]

取指数即得 \(e^{-1}\)。平方根贡献了对数前的系数 \(1/2\)。

知识点与易错点 复合等价需从最内层逐步替换；平方根变为对数系数后不能遗漏。

解析 3：高阶小量与有界振荡

题目

计算极限 \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sqrt[3]{1+3x^3}-1+x^4\cos\frac{1}{x}}{\ln(1+2x)\cdot\tan^2 x}\).

答案 \(1/2\)。

详细解析

令 \(v=3x^3\)，则 \((1+v)^{1/3}-1\sim v/3=x^3\)。并且

\[\left|\frac{x^4\cos(1/x)}{x^3}\right|\le|x|\to0.\]

因此分子为 \(x^3+o(x^3)\)。分母满足 \(\ln(1+2x)\sim2x\)、\(\tan^2x\sim x^2\)，即 \(2x^3+o(x^3)\)。两者相除得极限 \(1/2\)。

这里不需要 \(\cos(1/x)\) 本身有极限，只需要它有界。

知识点与易错点 振荡项是否可忽略取决于相对阶数；用绝对值给出可检验的误差估计。

解析 4：等价无穷小确定整数参数

题目

当 \(x\to 1\) 时，\(1-\dfrac{m}{1+x+x^2+\dots+x^{m-1}}\) 是 \((x-1)\) 的等价无穷小量（\(m\in\mathbb{N}\)），求常数 \(m\) 的值.

答案 \(m=3\)。

详细解析

记 \(S_m(x)=1+x+\cdots+x^{m-1}\)，这里 \(m\ge1\)。有 \(S_m(1)=m\)，且

\[\frac{1-m/S_m(x)}{x-1}=\frac{S_m(x)-S_m(1)}{x-1}\frac1{S_m(x)}\to\frac{S_m'(1)}m.\]

由于 \(S_m'(1)=1+2+\cdots+(m-1)=m(m-1)/2\)，比值极限为 \((m-1)/2\)。等价要求该极限为 \(1\)，故 \(m=3\)。若允许自然数含 \(0\)，\(m=0\) 使题给和式及分式无意义，不属于可行参数。

知识点与易错点 同阶只要求非零有限比值，等价必须要求比值为 1。

解析 5：有界三角扰动的求和极限

题目

计算极限 \(\lim\limits_{n\to\infty}\left(\dfrac{1}{n^2+1+\sin 1}+\dfrac{2}{n^2+1+\sin 2}+\dots+\dfrac{n}{n^2+1+\sin n}\right)\).

答案 \(1/2\)。

详细解析

由 \(-1\le\sin k\le1\)，分母满足 \(n^2\le n^2+1+\sin k\le n^2+2\)。逐项放缩并求和，

\[\frac{n(n+1)}{2(n^2+2)}\le\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2+1+\sin k}\le\frac{n(n+1)}{2n^2}.\]

两端都趋于 \(1/2\)，由夹逼定理得结论。

知识点与易错点 有界扰动相对于 n² 可统一控制；放缩后的分母应与求和下标无关。

解析 6：隐函数的二阶导数

题目

设函数 \(y=y(x)\) 是由方程 \(x^2+y=\tan(x-y)\) 所确定，且 \(y(0)=0\). 求 \(y'(0)\) 和 \(y''(0)\).

答案 \(y'(0)=1/2\)，\(y''(0)=-1\)。

详细解析

记 \(u=x-y(x)\)，两边求导：

\[2x+y'=\sec^2u(1-y').\]

由 \(y(0)=0\)，代入得 \(y'(0)=1-y'(0)\)，所以 \(y'(0)=1/2\)。再次求导，

\[2+y''=2\sec^2u\tan u(1-y')^2-\sec^2u\,y''.\]

在 \(x=0\)，\(u=0\)，右端第一项为零，故 \(2+y''(0)=-y''(0)\)，得到 \(y''(0)=-1\)。

知识点与易错点 隐函数反复求导时，内层 x−y 的导数为 1−y′；乘积与链式项都须保留。

解析 7：对数根式函数的抵消

题目

已知 \(y=x\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)-\sqrt{x^2+1}\)，求 \(\dfrac{dy}{dx}\)，\(\dfrac{d^2y}{dx^2}\).

答案 \(y'=\ln(x+\sqrt{x^2+1})\)，\(y''=1/\sqrt{x^2+1}\)。

详细解析

设 \(L(x)=\ln(x+\sqrt{x^2+1})\)。对任意实数 \(x\)，对数真数为正，且

\[L'(x)=\frac{1+x/\sqrt{x^2+1}}{x+\sqrt{x^2+1}}=\frac1{\sqrt{x^2+1}}.\]

由乘积法则，

\[y'=L(x)+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}-\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=L(x).\]

再求一次导数得 \(y''=1/\sqrt{x^2+1}\)。

知识点与易错点 先单独求常见内层函数的导数，识别乘积求导后两项抵消。

解析 8：反正切复合函数的微分

题目

设 \(y=\arctan\dfrac{x+1}{x-1}+\ln\sqrt{1+x^2}\)，求 \(dy\) 与 \(dy\big|_{x=3}\).

答案 \(dy=\frac{x-1}{1+x^2}\,dx\)（\(x\ne1\)）；\(dy|_{x=3}=\frac15dx\)。

详细解析

令 \(u=(x+1)/(x-1)\)，则 \(u'=-2/(x-1)^2\)，因此

\[\left(\arctan\frac{x+1}{x-1}\right)'=\frac{-2/(x-1)^2}{1+(x+1)^2/(x-1)^2}=-\frac1{1+x^2}.\]

又 \(\ln\sqrt{1+x^2}=\frac12\ln(1+x^2)\)，其导数为 \(x/(1+x^2)\)。相加得 \(y'=(x-1)/(1+x^2)\)，所以 \(dy=y'\,dx\)。代入 \(x=3\) 得 \(dy=dx/5\)。

化简导数的公式在 \(x=1\) 有值，并不意味着原函数在该点有定义。

知识点与易错点 微分答案要带 dx；化简不能擅自扩大原函数的定义域。

解析 9：分段函数的一阶与二阶可导性

题目

设 \(f(x)=\begin{cases} x^2\sin\dfrac{1}{x}+e^{2x}, & (x<0) \\ ax+b. & (x\ge 0) \end{cases}\)

1. 求常数 \(a,b\) 的值使 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 处可导； (2) 计算 \(f'(x)\)（\(x\in\mathbb{R}\)）.

2. 试问 \(f''(0)\) 是否存在？为什么？

答案 \(a=2,b=1\)；\(f''(0)\) 不存在。

详细解析

连续性先要求

\[b=f(0)=\lim_{x\to0^-}\left[x^2\sin(1/x)+e^{2x}\right]=1.\]

在 \(b=1\) 下，左差商为

\[\frac{f(x)-1}x=x\sin(1/x)+\frac{e^{2x}-1}x\to2.\]

右导数是 \(a\)，所以可导要求 \(a=2\)。此时

\[f'(x)=\begin{cases}2x\sin(1/x)-\cos(1/x)+2e^{2x},&x<0,\\2,&x\ge0.\end{cases}\]

证明二阶导数不存在，可先检查 \(f'\) 的连续性。沿 \(x_k=-1/(2k\pi)\)，左支 \(f'(x_k)\to1\)；沿 \(z_k=-1/((2k+1)\pi)\)，左支 \(f'(z_k)\to3\)。所以 \(f'\) 在零点不连续；若 \(f''(0)\) 存在，则 \(f'\) 在零点可导，从而连续，矛盾。因此二阶导数不存在。

知识点与易错点 可导不保证导函数连续；要否定二阶可导，可利用一阶导函数已经不连续。

解析 10：广义二项式系数与高阶导数

题目

已知 \(f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{1+x}}\)，求 \(f^{(6)}(0)\).

答案 \(f^{(6)}(0)=-2835/16\)。

详细解析

令 \(g(x)=(1+x)^{-1/2}\)。用乘积的六阶求导公式，因 \(f(x)=xg(x)\)，只有两项保留：

\[f^{(6)}(x)=xg^{(6)}(x)+6g^{(5)}(x).\]

所以

\[f^{(6)}(0)=6\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)\left(-\frac72\right)\left(-\frac92\right)=-\frac{2835}{16}.\]

也可用 \((1+x)^{-1/2}\) 的 \(x^5\) 项系数 \(-63/256\)，乘前面的 \(x\) 后成为 \(f\) 的 \(x^6\) 项，再乘 \(6!\)。

知识点与易错点 前置的 x 会把系数下标平移一位；有限次乘积求导可避免展开整条级数。

解析 11：摆线切线与参数二阶导数

题目

设函数 \(y=y(x)\) 由参数方程 \(\begin{cases} x=t-\sin t, \\ y=1-\cos t \end{cases}\) 所确定.

1. 试求曲线 \(y=y(x)\) 在 \(t=\dfrac{\pi}{2}\) 处的切线方程； (2) 计算 \(y''(x)\).

答案 切线为 \(y-1=x-(\pi/2-1)\)；\(y''=-1/(1-\cos t)^2\)（\(t\ne2k\pi\)）。

详细解析

由参数方程，\(x'=1-\cos t\)、\(y'=\sin t\)。当 \(x'\ne0\) 时，

\[\frac{dy}{dx}=\frac{\sin t}{1-\cos t}.\]

在 \(t=\pi/2\)，切点是 \((\pi/2-1,1)\)，斜率为 \(1\)，因此切线为 \(y-1=x-(\pi/2-1)\)。

再对 \(t\) 求导并除以 \(x'\)：

\[\frac{d^2y}{dx^2}=\frac1{1-\cos t}\frac{\cos t(1-\cos t)-\sin^2t}{(1-\cos t)^2}=-\frac1{(1-\cos t)^2}.\]

公式的适用范围排除尖点参数 \(t=2k\pi\)。

知识点与易错点 参数二阶导数须再除 x′；利用 sin²+cos²=1 化简商法则结果。

解析 12：按函数增量分段应用中值定理

题目

设 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上连续，在 \((0,1)\) 内可导，且 \(f(0)=0\)，\(f(1)=1\).

证明：(1) \(\exists c\in(0,1)\) 使得 \(f(c)=\dfrac{3}{2023}\)； (2) \(\exists\xi\ne\eta\in(0,1)\) 使得 \(\dfrac{3}{f'(\xi)}+\dfrac{2020}{f'(\eta)}=2023\).

答案 两问均成立；可选 \(\xi\in(0,c)\)、\(\eta\in(c,1)\)。

详细解析

（1）由于 \(0<3/2023<1\)，由介值定理存在 \(c\in(0,1)\)，使 \(f(c)=3/2023\)。

（2）分别在 \([0,c]\) 与 \([c,1]\) 上应用拉格朗日中值定理，得到

\[f'(\xi)=\frac{3}{2023c},\qquad f'(\eta)=\frac{2020}{2023(1-c)},\]

其中 \(\xi\in(0,c)\)、\(\eta\in(c,1)\)，所以两点不同，且导数都非零。于是

\[\frac3{f'(\xi)}+\frac{2020}{f'(\eta)}=2023c+2023(1-c)=2023.\]

分割点 \(c\) 由函数值而非坐标预先给定，不必也不能直接设 \(c=3/2023\)。

知识点与易错点 按目标式常数比例选取函数增量，再在两段上分别应用中值定理。

解析 13：多项式正根构成的数列

题目

设函数 \(f_n(x)=x^n+x^{n-1}+\dots+x-1\)（\(n\in\mathbb{N}^+\)）.

1. 证明方程 \(f_n(x)=0\) 有唯一正根 \(x_n\)； (2) 证明数列 \(\{x_n\}\) 收敛并计算 \(\lim\limits_{n\to+\infty}x_n\).

答案 唯一正根 \(x_n\) 存在，且 \(x_n\downarrow1/2\)。

详细解析

对每个 \(n\ge1\)，\(f_n(x)=\sum_{k=1}^nx^k-1\) 在 \([0,+\infty)\) 连续，在正半轴严格递增，且 \(f_n(0)=-1\)、\(f_n(1)=n-1\ge0\)，故有唯一正根 \(x_n\in(0,1]\)（\(x_1=1\)）。

又 \(f_n(1/2)=\sum_{k=1}^n2^{-k}-1=-2^{-n}<0\)，故 \(x_n>1/2\)。由于

\[f_{n+1}(x_n)=f_n(x_n)+x_n^{n+1}=x_n^{n+1}>0,\]

结合严格递增性得 \(x_{n+1}<x_n\)。所以数列有极限 \(L\ge1/2\)。

由根方程乘以 \(1-x_n\)，得到 \(2x_n-1=x_n^{n+1}\)。当 \(n\ge2\) 时，\(x_n\le x_2=(\sqrt5-1)/2=\rho<1\)，所以 \(0\le x_n^{n+1}\le\rho^{n+1}\to0\)。于是 \(2L-1=0\)，即 \(L=1/2\)。

知识点与易错点 先证根存在且唯一，再利用相邻多项式比较根；变指数项须用统一小于 1 的上界控制。

解析 14：课程学习反思与教学反馈

题目

1. 结合自己的情况谈谈如何学好《微积分》课程.

2. 你对《微积分》任课教师上课与助教的习题课有什么要求？

（要求：上面两个问题的回答均不少于100字.）

答案 开放题，无统一数值答案；两问分别不少于 100 字。

详细解析

这两问须结合答题者的真实经历和需求作答，不宜把通用范文当成个人事实。可按以下结构组织，每问写成独立段落并检查字数。

（1）如何学好课程：先说明自己的一个具体薄弱点；再写课前、课中和课后的行动；最后说明如何检验改善。例如可从定义的量词、证明结构、计算细节或错题复盘中选择确实适合自己的方面。明确到“每周做什么、如何核对、何时复习”，比泛泛表示努力更有内容。

（2）对教师与助教的要求：分别说明课堂讲解和习题课的需求。课堂可讨论定义动机、定理条件、反例与证明关键步；习题课可讨论题型选择、学生常见误区、答疑方式与反馈节奏。建议附上一项具体例子，并说明它如何帮助学习。

完成后逐项检查：是否回应问题、是否符合自身情况、是否分别达到 100 字、建议是否具体且可执行。

知识点与易错点 开放题保留个人表达空间；结构提示不能替代真实经历或自行作答。

第三部分：知识点总结

答案与考点索引

题号	答案或结论	主要考点
1	\(\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{x+2}{2x+1}=1\)。	函数极限定义与证明
2	\(e^{-1}\)。	对数与三角复合的幂指极限
3	\(1/2\)。	高阶小量与有界振荡
4	\(m=3\)。	等价无穷小确定整数参数
5	\(1/2\)。	有界三角扰动的求和极限
6	\(y'(0)=1/2\)，\(y''(0)=-1\)。	隐函数的二阶导数
7	\(y'=\ln(x+\sqrt{x^2+1})\)，\(y''=1/\sqrt{x^2+1}\)。	对数根式函数的抵消
8	\(dy=\frac{x-1}{1+x^2}\,dx\)（\(x\ne1\)）；\(dy\|_{x=3}=\frac15dx\)。	反正切复合函数的微分
9	\(a=2,b=1\)；\(f''(0)\) 不存在。	分段函数的一阶与二阶可导性
10	\(f^{(6)}(0)=-2835/16\)。	广义二项式系数与高阶导数
11	切线为 \(y-1=x-(\pi/2-1)\)；\(y''=-1/(1-\cos t)^2\)（\(t\ne2k\pi\)）。	摆线切线与参数二阶导数
12	两问均成立；可选 \(\xi\in(0,c)\)、\(\eta\in(c,1)\)。	按函数增量分段应用中值定理
13	唯一正根 \(x_n\) 存在，且 \(x_n\downarrow1/2\)。	多项式正根构成的数列
14	开放题，无统一数值答案；两问分别不少于 100 字。	课程学习反思与教学反馈

题型分布与复习重点

• 极限计算（1–5）：定义证明先限制分母；复合幂指型逐层取主项；振荡误差与主项比较阶数。
• 求导与正则性（6–11）：区分导数、微分和参数二阶导数；高阶导数可用乘积公式；可导不保证导函数连续。
• 中值定理与根数列（12–13）：按函数值分割区间；根数列先比较单调性，再控制变指数项。
• 开放反馈（14）：按本人学习情况作答，两问分别满足字数要求，避免将结构建议当成个人经历。

通用解题检查清单

• 定义证明：写出任意误差、明确选择尾部起点或邻域半径，并验证它对全部相关变量统一有效。
• 极限计算：先检查定义域与趋近方向；等价替换用于乘除，相减有抵消时先变形或保留足够阶数。
• 连续与可导：先检查函数值及左右极限，再比较左右差商；表达式化简不会自动恢复原来无定义的点。
• 高阶或参数导数：区分求导对象；每次参数二阶求导都要除以对应自变量的一阶参数导数。
• 存在性证明：先证明极限或根存在，再计算其候选值；应用介值或中值定理前逐项核对连续性、可导性和端值。

常用公式

\[\sin t\sim t,\quad\tan t\sim t,\quad1-\cos t\sim\frac{t^2}{2},\quad\ln(1+t)\sim t,\quad e^t-1\sim t\qquad(t\to0).\]

\[\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt},\qquad\frac{d^2y}{dx^2}=\frac1{dx/dt}\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right),\qquad dy=f'(x)\,dx.\]

若目标含 \(f'+\lambda f\)，可考虑 \((e^{\lambda x}f)'=e^{\lambda x}(f'+\lambda f)\)；若右边为常数，先适当平移函数。使用这些公式时仍需保留相应定义域和分母非零条件。

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