线性代数第一次小测 · 历年卷归档
线性代数第一次小测复习
目录
题号 1—2 为周三卷，3—4 为周四 A 卷，5—6 为周四 B 卷，7—10 为周一班材料。第 9 题的设问为补充练习。所有参数按实数讨论，行列式中的 \(n\) 为正整数。
第一部分：题目
题 1：含参非齐次方程组的解的讨论
\(a\)为何值时，方程组：无解？有唯一解？有无数多解？并在有解时，求其解。
\[ \begin{cases} ax_1 + x_2 + x_3 =& -2 \\ x_1 + ax_2 + x_3 =& 1 \\ x_1 + x_2 + ax_3 =& 1 \end{cases} \]
题 2：行列式展开式中的负项计数
求
\[ D = \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 & \cdots & -1 \\ 1 & 1 & -1 & \cdots & -1 \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & -1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \end{vmatrix} \]
展开式中的负项总数。
题 3：非齐次方程组唯一解的条件
对于非齐次线性方程组：
\[ \begin{cases} kx_1 + x_2 + ax_3 =& 1 \\ x_1 + kx_2 =& 3 \\ 3x_1 + x_2 + ax_3 =& 1 \end{cases} \]
当\(k\)满足什么条件时，方程有唯一解。
题 4：三对角行列式
计算行列式：
\[ D_n=\begin{vmatrix} 2a & a^2 & & & \\ 1 & 2a & a^2 & & \\ & 1 & 2a & \ddots & \\ & & \ddots & \ddots & a^2 \\ & & & 1 & 2a \end{vmatrix} \]
题 5：齐次方程组与非齐次方程的公共解
方程组：
\[ \begin{cases} x_1 + x_2 + ax_3 =& 0 \\ x_1 + 2x_2 + x_3 =& 0 \\ x_1 - x_2 + ax_3 =& 0 \end{cases} \]
与方程\(x_1-2x_2+3x_3=1\)有公共解，求\(a\)的取值范围。
题 6：对角元不同、非对角元相同的行列式
计算行列式：
\[ D_n=\begin{vmatrix} x_1 & y & y & \cdots & y \\ y & x_2 & y & \cdots & y \\ y & y & x_3 & \cdots & y \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ y & y & y & \cdots & x_n \end{vmatrix} \]
题 7：两个齐次方程组同解
已知齐次线性方程组
\[ (\mathrm{I})\quad \begin{cases} x_1+2x_2+3x_3=0,\\ 2x_1+3x_2+5x_3=0,\\ x_1+x_2+ax_3=0, \end{cases} \]
和
\[ (\mathrm{II})\quad \begin{cases} x_1+bx_2+cx_3=0,\\ 2x_1+b^2x_2+(c+1)x_3=0. \end{cases} \]
若两方程组同解，求 \(a,b,c\) 的值。
题 8：元素为两部分之和的行列式
计算 \(n\) 阶行列式
\[ D_n= \begin{vmatrix} a_1+b_1c_1 & a_2+b_1c_2 & \cdots & a_n+b_1c_n\\ a_1+b_2c_1 & a_2+b_2c_2 & \cdots & a_n+b_2c_n\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_1+b_nc_1 & a_2+b_nc_2 & \cdots & a_n+b_nc_n \end{vmatrix}. \]
题 9：四元齐次方程组
设齐次线性方程组
\[ \begin{cases} x_2+ax_3+bx_4=0,\\ -x_1+cx_3+dx_4=0,\\ ax_1+cx_2-ex_4=0,\\ bx_1+dx_2-ex_3=0. \end{cases} \]
补充练习： 讨论该方程组的解，并给出通解。
题 10：非对角元为两参数之和的行列式
设 \(a_1a_2\cdots a_n\ne0\)，计算 \(n\) 阶行列式
\[ D_n= \begin{vmatrix} 0 & a_1+a_2 & a_1+a_3 & \cdots & a_1+a_n\\ a_2+a_1 & 0 & a_2+a_3 & \cdots & a_2+a_n\\ a_3+a_1 & a_3+a_2 & 0 & \cdots & a_3+a_n\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_n+a_1 & a_n+a_2 & a_n+a_3 & \cdots & 0 \end{vmatrix}. \]
第二部分：详细解答
题 1：含参非齐次方程组的解的讨论
思路： 先判断系数矩阵何时奇异，再分别处理特殊参数。
记系数矩阵为 \(A\)。将三行相加并利用行列式性质，或直接展开，可得
\[ \det A=(a-1)^2(a+2). \]
（1）\(a\ne1,-2\)：有唯一解。
三式相加得
\[ (a+2)(x_1+x_2+x_3)=0. \]
因此 \(x_1+x_2+x_3=0\)。原方程依次变成
\[ (a-1)x_1=-2,\qquad (a-1)x_2=1,\qquad (a-1)x_3=1. \]
所以
\[ \boxed{(x_1,x_2,x_3)=\left(-\frac2{a-1},\frac1{a-1},\frac1{a-1}\right).} \]
（2）\(a=1\)：无解。
三个方程的左端均为 \(x_1+x_2+x_3\)，右端却分别为 \(-2,1,1\)，相互矛盾。
（3）\(a=-2\)：有无穷多解。
第二式减第三式得 \(x_2=x_3\)，代入第二式得 \(x_1=1+x_3\)。故通解为
\[ \boxed{\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix},\quad t\in\mathbb R.} \]
易错点： 只有在确认因子非零后才能相除，否则会漏掉特殊参数。
题 2：行列式展开式中的负项计数
思路： 先求行列式的值，再用“正项数减负项数”等于该值。
从最后一行向上依次作 \(R_i\leftarrow R_i-R_{i-1}\)，\(i=n,n-1,\ldots,2\)，得到上三角行列式：
\[ D=\begin{vmatrix} 1&-1&-1&\cdots&-1\\ 0&2&0&\cdots&0\\ 0&0&2&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&2 \end{vmatrix}=2^{n-1}. \]
展开式共有 \(n!\) 项；每个元素的绝对值都是 \(1\)，故每个带排列符号的展开项只能是 \(1\) 或 \(-1\)。设正项数为 \(P\)，负项数为 \(N\)，则
\[ P+N=n!,\qquad P-N=2^{n-1}. \]
解得
\[ \boxed{N=\frac{n!-2^{n-1}}2.} \]
易错点：“负项”指包含排列符号后的整项为负，不能只统计选取元素中负数的个数。逐行相减应从下向上进行，保证被减行尚未改变。
题 3：非齐次方程组唯一解的条件
三元方程组有唯一解当且仅当三阶系数行列式非零。按第三列展开：
\[ \begin{aligned} \det A &=\begin{vmatrix}k&1&a\\1&k&0\\3&1&a\end{vmatrix}\\ &=a\begin{vmatrix}1&k\\3&1\end{vmatrix} +a\begin{vmatrix}k&1\\1&k\end{vmatrix}\\ &=a(1-3k)+a(k^2-1)=ak(k-3). \end{aligned} \]
因此
\[ \boxed{a\ne0,\quad k\ne0,\quad k\ne3.} \]
若题目将 \(a\) 视为固定参数，则：\(a\ne0\) 时要求 \(k\notin\{0,3\}\)；\(a=0\) 时不存在使方程组有唯一解的 \(k\)。
题 4：三对角行列式
思路： 按第一行展开，建立相邻阶数之间的递推关系。
令 \(D_0=1\)。显然 \(D_1=2a\)，且当 \(n\ge2\) 时
\[ D_n=2aD_{n-1}-a^2D_{n-2}. \]
其中第二项来自第一行的 \(a^2\)：它的代数余子式带负号，对应子式再按第一列展开，留下 \(D_{n-2}\)。
猜测并用归纳法证明 \(D_n=(n+1)a^n\)：初值 \(D_0=1\)、\(D_1=2a\) 满足公式；若前两阶成立，则
\[ D_n=2a\cdot na^{n-1}-a^2\cdot(n-1)a^{n-2}=(n+1)a^n. \]
所以
\[ \boxed{D_n=(n+1)a^n.} \]
该证明不需要除以 \(a\)，因此也覆盖 \(a=0\) 的情形。
题 5：齐次方程组与非齐次方程的公共解
第一式减第三式得 \(2x_2=0\)，故 \(x_2=0\)。第二式随即给出 \(x_1=-x_3\)，代入第一式得
\[ (a-1)x_3=0. \]
若 \(a\ne1\)，则 \(x_3=x_1=x_2=0\)，不能满足 \(x_1-2x_2+3x_3=1\)。
若 \(a=1\)，原齐次方程组通解为 \((-t,0,t)\)，代入附加方程得 \(2t=1\)，所以公共解为
\[ \left(-\frac12,0,\frac12\right). \]
因此
\[ \boxed{a=1.} \]
易错点： 齐次方程组始终有零解，但零解未必满足附加的非齐次方程。
题 6：对角元不同、非对角元相同的行列式
令 \(d_i=x_i-y\)。第 \(j\) 列可写成
\[ C_j=d_j e_j+y\mathbf1, \]
其中 \(e_j\) 为第 \(j\) 个标准列向量，\(\mathbf1=(1,\ldots,1)^{\mathsf T}\)。
利用行列式对每一列的线性性质展开：
- 所有列都选 \(d_j e_j\)，得到 \(\prod_{j=1}^n d_j\)。
- 只有第 \(i\) 列选 \(y\mathbf1\)，得到 \(y\prod_{j\ne i}d_j\)。这是因为将该列的 \(\mathbf1\) 按标准向量展开后，只有 \(e_i\) 对应的项不与其他列重复。
- 至少两列选 \(y\mathbf1\)，这些列相同，行列式为零。
相加得
\[ \boxed{D_n=\prod_{i=1}^n(x_i-y) +y\sum_{i=1}^n\prod_{\substack{j=1\\j\ne i}}^n(x_j-y).} \]
若所有 \(x_i\ne y\)，也可写成
\[ \boxed{D_n=\left(1+y\sum_{i=1}^n\frac1{x_i-y}\right)\prod_{i=1}^n(x_i-y).} \]
特殊情形： 恰有一个 \(x_k=y\) 时，只有求和中第 \(k\) 项可能非零，故 \(D_n=y\prod_{j\ne k}(x_j-y)\)；至少两个 \(x_i=y\) 时，\(D_n=0\)。空乘积约定为 \(1\)，所以公式也适用于 \(n=1\)。
题 7：两个齐次方程组同解
思路： 先求（I）的解空间，再要求（II）的解空间与它完全相同。
对（I），第二式减第一式的两倍，得 \(-x_2-x_3=0\)；代回第一式得 \(x_1=-x_3\)。第三式因此化为
\[ (a-2)x_3=0. \]
若 \(a\ne2\)，（I）只有零解。但（II）只有两个方程、三个未知数，系数矩阵的秩至多为 \(2\)，必有非零解，故不可能同解。因此 \(a=2\)，且（I）的通解为
\[ (x_1,x_2,x_3)=t(-1,-1,1). \]
要求该向量也满足（II），得到
\[ -1-b+c=0,\qquad -2-b^2+c+1=0. \]
即 \(c=b+1\)、\(c=b^2+1\)，所以 \(b(b-1)=0\)。逐一检验：
- \(b=0,c=1\) 时，（II）两式分别为 \(x_1+x_3=0\) 和 \(2x_1+2x_3=0\)，只给出一个独立约束，\(x_2\) 自由，解空间大于（I），排除。
- \(b=1,c=2\) 时，（II）为 \(x_1+x_2+2x_3=0\)、\(2x_1+x_2+3x_3=0\)。相减得 \(x_1=-x_3\)，再代回得 \(x_2=-x_3\)，与（I）完全同解。
因此
\[ \boxed{a=2,\quad b=1,\quad c=2.} \]
易错点： 让一个基础解向量满足另一方程组，只证明了解空间的包含关系，还要排除另一方程组出现更多解的可能。
题 8：元素为两部分之和的行列式
记
\[ \alpha=(a_1,\ldots,a_n),\qquad \gamma=(c_1,\ldots,c_n). \]
第 \(i\) 行是 \(\alpha+b_i\gamma\)。因此所有行都属于由 \(\alpha,\gamma\) 张成的空间，行向量组的秩至多为 \(2\)。当 \(n\ge3\) 时，行向量必线性相关，故 \(D_n=0\)。
当 \(n=1\) 时，\(D_1=a_1+b_1c_1\)。
当 \(n=2\) 时，第二行减第一行，得
\[ \begin{aligned} D_2 &=\begin{vmatrix}a_1+b_1c_1&a_2+b_1c_2\\(b_2-b_1)c_1&(b_2-b_1)c_2\end{vmatrix}\\ &=(b_2-b_1)\bigl[(a_1+b_1c_1)c_2-(a_2+b_1c_2)c_1\bigr]\\ &=(b_2-b_1)(a_1c_2-a_2c_1). \end{aligned} \]
综上，
\[ \boxed{D_n=\begin{cases} a_1+b_1c_1,&n=1,\\ (b_2-b_1)(a_1c_2-a_2c_1),&n=2,\\ 0,&n\ge3. \end{cases}} \]
另一种理解： 按各行的和拆分行列式。\(n\ge3\) 时，每一项都从 \(\alpha\) 或 \(\gamma\) 中选择各行，必有两行成比例，所以每一项均为零。
题 9：四元齐次方程组（补充练习）
思路： 先用前两式消去 \(x_1,x_2\)，剩下两个自由变量之间的约束。
令 \(x_3=u\)、\(x_4=v\)。前两式给出
\[ x_1=cu+dv,\qquad x_2=-au-bv. \]
记 \(h=ad-bc\)。将上式代入第三、第四式，分别得到
\[ (h-e)v=0,\qquad (h+e)u=0. \]
因此通解可统一表示为
\[ \boxed{\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix} =u\begin{pmatrix}c\\-a\\1\\0\end{pmatrix} +v\begin{pmatrix}d\\-b\\0\\1\end{pmatrix},\quad (h+e)u=0,\ (h-e)v=0.} \]
分类如下：
| 参数条件 | 通解 | 解空间维数 |
|---|---|---|
| \(h\ne e\) 且 \(h\ne-e\) | 只有零解 | \(0\) |
| \(h=e\ne0\) | \(v(d,-b,0,1)^{\mathsf T}\) | \(1\) |
| \(h=-e\ne0\) | \(u(c,-a,1,0)^{\mathsf T}\) | \(1\) |
| \(h=e=0\) | \(u(c,-a,1,0)^{\mathsf T}+v(d,-b,0,1)^{\mathsf T}\) | \(2\) |
表中的 \(u,v\) 在出现时均为任意实数。故存在非零解的充要条件为
\[ \boxed{(ad-bc)^2=e^2.} \]
也可计算系数行列式验证：\(\det A=(ad-bc)^2-e^2\)。
题 10：非对角元为两参数之和的行列式
思路： 将矩阵写成可逆对角矩阵加两个秩至多为 \(1\) 的矩阵，把 \(n\) 阶行列式化为二阶行列式。
令
\[ \mathbf a=(a_1,\ldots,a_n)^{\mathsf T},\qquad \mathbf1=(1,\ldots,1)^{\mathsf T},\qquad B=-2\operatorname{diag}(a_1,\ldots,a_n). \]
题目矩阵为
\[ A=B+\mathbf a\mathbf1^{\mathsf T}+\mathbf1\mathbf a^{\mathsf T}=B+UV^{\mathsf T}, \quad U=(\mathbf a,\mathbf1),\quad V=(\mathbf1,\mathbf a). \]
因为所有 \(a_i\ne0\)，\(B\) 可逆。用行列式恒等式
\[ \det(B+UV^{\mathsf T})=\det B\cdot\det(I_2+V^{\mathsf T}B^{-1}U), \]
并记 \(S=\sum_{i=1}^n a_i\)、\(T=\sum_{i=1}^n a_i^{-1}\)，可得
\[ I_2+V^{\mathsf T}B^{-1}U =\begin{pmatrix}1-\frac n2&-\frac T2\\-\frac S2&1-\frac n2\end{pmatrix}. \]
所以
\[ \begin{aligned} D_n &=(-2)^n\prod_{i=1}^n a_i \left[\left(1-\frac n2\right)^2-\frac{ST}{4}\right]\\ &=\boxed{(-2)^{n-2}\left(\prod_{i=1}^n a_i\right) \left[(n-2)^2-\left(\sum_{i=1}^n a_i\right) \left(\sum_{i=1}^n\frac1{a_i}\right)\right].} \end{aligned} \]
恒等式的初等证明： 考虑分块矩阵
\[ M=\begin{pmatrix}B&U\\-V^{\mathsf T}&I_2\end{pmatrix}. \]
用下方两行消去右上块，得到 \(\det M=\det(B+UV^{\mathsf T})\)；用上方 \(n\) 行消去左下块，得到 \(\det M=\det B\det(I_2+V^{\mathsf T}B^{-1}U)\)。两者相等，即得所用公式。
检验：\(n=1\) 时结果为 \(0\)；\(n=2\) 时为 \(-(a_1+a_2)^2\)；所有 \(a_i=a\ne0\) 时为 \((-1)^{n-1}(n-1)(2a)^n\)，均与直接计算一致。
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