2023-2024 学年上学期《微积分》第一次小测归档
来源：微信公众号“路老师的nonsense collection”发布的文章《微积分23-24学年上学期第一次小测题整理》。
本资料为多个班级的小测题目汇编。按原有分组保留题目，未标明的时间、分值不作补充。
分组：甲卷 10 题；另一甲卷（截图注明来自张泽镕班）7 题；乙卷独有题及补充共 4 题。乙卷另有 3 道单选与甲卷第 3、4、6 题相同，3 道多选与甲卷第 8、9、10 题相同，保留此对应关系，不重复计入独有题数。
第一部分：题目
甲-1. 复合根式的等价无穷小
求 \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sqrt[3]{1+\sin^4x}-1}{x^3\tan x}\)。
甲-2. 有界扰动的变项数列和
求 \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^n\frac{k+\sin k}{n^2+k}\)。
甲-3. 反正切与反余切
求 \(\arctan x+\operatorname{arccot}x\)。
甲-4. 正无穷处的斜渐近线
已知 \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x^2-x+1}-ax-b)=0\)，求 \(a,b\)。
甲-5. 对数分母的可去间断点
求 \(f(x)=\frac{x^2-1}{x(x+1)\ln|x|}\) 的可去间断点个数。
甲-6. 反正切复合正切的锯齿函数
分析 \(y=\arctan(\tan x)\) 的定义域、奇偶性、周期性和单调性。
甲-7. 无穷小与无界函数
下列叙述正确的是：
- A. 有限多个无穷小的和是无穷小。
- B. 无限多个无穷小的和是无穷小。
- C. 无界函数必是无穷大。
- D. 无穷大必是无界函数。
甲-8. 单调有界与发散数列之和
下列叙述正确的是：
- A. 单调数列必有极限。
- B. 单调有界数列必有极限。
- C. 两个发散数列之和不一定发散。
- D. 跳跃间断点属于第一类间断点。
甲-9. 严格单调有界但未必连续
设 \(f(x)\) 在 \(\mathbb R\) 上严格单调有界，\(\{x_n\}\) 为实数列，选出错误陈述。
- A. 若 \(\{x_n\}\) 发散，则 \(\{f(x_n)\}\) 必发散。
- B. 若 \(\{x_n\}\) 单调，则 \(\{f(x_n)\}\) 必收敛。
- C. 若 \(\{f(x_n)\}\) 发散，则 \(\{x_n\}\) 必发散。
- D. 若 \(\{f(x_n)\}\) 单调，则 \(\{x_n\}\) 必收敛。
甲-10. 分式递推的收敛性
设 \(x_1\ge0\)，\(x_{n+1}=\frac{9+x_n}{1+x_n}\)（\(n=1,2,\ldots\)），下列命题正确的是：
- A. 数列 \(\{x_n\}\) 存在极限。
- B. 数列 \(\{x_n\}\) 以 \(3\) 或 \(-3\) 为极限。
- C. 数列 \(\{x_n\}\) 不收敛。
- D. 数列 \(\{x_n\}\) 以 \(3\) 为极限。
另甲-1. 平方和极限
求 \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{1^2}{n^3}+\frac{2^2}{n^3}+\cdots+\frac{(n-1)^2}{n^3}\right)\)。
另甲-2. 根式变项数列和
求 \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^n\frac{\sqrt{k(k+1)}}{n^2+k}\)。
另甲-3. 多个不同指数项之和
求 \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{n+n^{1/2}+n^{1/3}+\cdots+n^{1/n}}n\)。
另甲-4. 有限乘积的最高次项
设 \(n\in\mathbb N_+\) 固定，求
\[\lim_{x\to+\infty}\frac{(x+1)(x^2+1)\cdots(x^n+1)}{[(nx)^n+1]^{(n+1)/2}}.\]
\(n\) 为固定参数；本题按 \(x\to+\infty\) 求值。
另甲-5. 三角底数的一的无穷次幂
求 \(\displaystyle\lim_{x\to0}(\cos^2x)^{1/\sin^2x}\)。
另甲-6. 算术平均与几何平均迭代
设 \(0\le a<b\)，\(x_1=a\)，\(y_1=b\)，且对 \(n\ge2\)，
\[x_n=\frac{x_{n-1}+y_{n-1}}2,\qquad y_n=\sqrt{x_{n-1}y_{n-1}}.\]
证明 \(\{x_n\}\) 与 \(\{y_n\}\) 的极限存在且相等。
另甲-7. 隐式定义的根与指数极限
设 \(f_n(x)=x^n+nx-2\)，\(x\in(0,+\infty)\)，\(n\in\mathbb N_+\)。
- 证明 \(f_n\) 有唯一正根，记为 \(x_n\)。
- 求 \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(1+x_n)^n\)。
乙-4. 有界振荡乘无穷小
求 \(\displaystyle\lim_{x\to0}\left(\frac{\sin x}{x}+x\sin\frac1x\right)\)。
乙-5. 分式底数的幂指极限
求 \(\displaystyle\lim_{x\to0}\left(\frac{1+4x}{1-2x}\right)^{1/x}\)。
乙-6. 函数极限定义的量词顺序
设 \(x_0,a\) 为实数，关于 \(\lim_{x\to x_0}f(x)=a\) 的定义，哪一项正确？各选项在所列去心邻域中均要求 \(|f(x)-a|<\varepsilon\)。
- A. \(\exists\varepsilon>0,\ \exists\delta>0,\ \forall x:0<|x-x_0|<\delta\)。
- B. \(\exists\delta>0,\ \exists\varepsilon>0,\ \forall x:0<|x-x_0|<\delta\)。
- C. \(\forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0,\ \exists x:0<|x-x_0|<\delta\)。
- D. \(\forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0,\ \forall x:0<|x-x_0|<\delta\)。
乙-补充. 绝对值极限的充分必要条件
“\(\lim_{n\to+\infty}a_n=a\)”是“\(\lim_{n\to+\infty}|a_n|=|a|\)”的什么条件？
第二部分：详细解析
解析 甲-1：复合根式的等价无穷小
答案 \(1/3\)。
详细解析
令 \(u=\sin^4x\to0\)。由 \((1+u)^{1/3}-1\sim u/3\)，以及 \(\sin x\sim x\)、\(\tan x\sim x\)，有
\[\frac{\sqrt[3]{1+\sin^4x}-1}{x^3\tan x}\sim\frac{\sin^4x}{3x^3\tan x}\to\frac13.\]
也可将分子按立方差有理化，得到 \(\sin^4x\) 除以一个趋于 \(3\) 的因子，避免使用展开。
知识点与易错点 先识别内层小量，再将各因子的阶数相加。
解析 甲-2：有界扰动的变项数列和
答案 \(1/2\)。
详细解析
拆成主项 \(A_n=\sum k/(n^2+k)\) 与扰动 \(R_n=\sum\sin k/(n^2+k)\)。主项满足
\[\frac{n(n+1)/2}{n^2+n}\le A_n\le\frac{n(n+1)/2}{n^2},\]
左右分别为 \(1/2\) 和 \((n+1)/(2n)\)，故 \(A_n\to1/2\)。扰动满足
\[|R_n|\le\sum_{k=1}^n\frac1{n^2+k}\le\frac1n\to0.\]
因此总和趋于 \(1/2\)。不需要知道 \(\sin k\) 的部分和，也不能因每一项趋于零便认为总和趋于零。
知识点与易错点 主项与有界扰动分离；总误差要乘上项数后再判断。
解析 甲-3：反正切与反余切
答案 \(\pi/2\)（采用 \(\operatorname{arccot}x\in(0,\pi)\) 的主值约定）。
详细解析
令 \(\theta=\arctan x\in(-\pi/2,\pi/2)\)。则 \(\pi/2-\theta\in(0,\pi)\)，并且 \(\cot(\pi/2-\theta)=\tan\theta=x\)。由反余切在此主值区间内的唯一性，\(\operatorname{arccot}x=\pi/2-\arctan x\)。
这里采用 \(\operatorname{arccot}x\in(0,\pi)\)。
知识点与易错点 先确认反函数的值域约定，再用余角关系。
解析 甲-4：正无穷处的斜渐近线
答案 \(a=1\)，\(b=-1/2\)。
详细解析
根式与 \(x\) 同阶，要消去线性项必须 \(a=1\)。有理化得
\[\sqrt{x^2-x+1}-x=\frac{-x+1}{\sqrt{x^2-x+1}+x}\to-\frac12.\]
于是原极限为 \(-1/2-b\)，令其等于 \(0\)，得 \(b=-1/2\)。对应渐近线为 \(y=x-1/2\)。
知识点与易错点 先匹配最高阶项，再用有理化求常数差。
解析 甲-5：对数分母的可去间断点
答案 1 个：仅 \(x=1\)。
详细解析
自然定义域排除 \(-1,0,1\)。在原定义域内约分得
\[f(x)=\frac{x-1}{x\ln|x|}.\]
在 \(x=1\)，\(\ln x\sim x-1\)，极限为 \(1\)，所以可去。
在 \(x=-1\)，令 \(h=x+1\to0\)，则 \(\ln|x|=\ln(1-h)\sim-h\)、\(x\ln|x|\sim h\)，分子趋于 \(-2\)，所以左极限为 \(+\infty\)，右极限为 \(-\infty\)，不是可去间断点。
在 \(x=0\)，\(x\ln|x|\to0\)，分子趋于 \(-1\)；左侧分母为正、右侧为负，左右函数极限分别为 \(-\infty,+\infty\)，也不可去。其他点都连续，故可去间断点只有 \(1\) 一个。
不能因为原分子在 \(-1\) 也等于零，就直接把 \(-1\) 判为可去；约分后仍有对数零点。
知识点与易错点 约分不恢复被排除点；约去一个因子后仍需检查剩余分母。
解析 甲-6：反正切复合正切的锯齿函数
答案 定义域为 \(\mathbb R\setminus\{\pi/2+k\pi:k\in\mathbb Z\}\)；奇函数；最小正周期为 \(\pi\)；各连续分支严格递增，全定义域上不单调。
详细解析
在每个区间 \(I_k=(k\pi-\pi/2,k\pi+\pi/2)\) 上，\(x-k\pi\in(-\pi/2,\pi/2)\)，故
\[\arctan(\tan x)=x-k\pi,\quad x\in I_k.\]
这同时给出值域 \((-\pi/2,\pi/2)\) 和分支严格递增性。定义域关于原点对称，且两层函数都为奇函数，复合仍为奇函数。
由 \(\tan(x+\pi)=\tan x\)，\(\pi\) 为周期；更小的正周期不能保持零点集 \(\{k\pi\}\) 不变，故最小正周期为 \(\pi\)。
跨越缺口时函数从接近 \(\pi/2\) 跳回接近 \(-\pi/2\)，所以全定义域上不递增；分支内部递增，又排除了全局递减。缺口处左右极限分别为 \(\pi/2,-\pi/2\)，可按跳跃间断点理解。
知识点与易错点 复合反函数只在主值区间内直接抵消；分支单调与全局单调不同。
解析 甲-7：无穷小与无界函数
答案 AD（各项在同一趋近过程下理解）。
详细解析
A 对：对固定有限个趋于零的量，用极限的加法法则即可。
B 错：无穷求和不能无条件与极限交换。对 \(x\to0^+\)，令 \(u_k(x)=x(1-x)^{k-1}\)（\(0<x<1\)）；每个固定 \(k\) 都有 \(u_k(x)\to0\)，但 \(\sum_{k=1}^\infty u_k(x)\equiv1\)。
C 错：取 \(f(x)=\sin(1/x)/x\)，\(x\to0\)。它在任何去心邻域内无界，但沿 \(x_n=1/(n\pi)\) 恒为零，不满足 \(|f(x)|\to\infty\)。
D 对：若 \(|f(x)|\to\infty\)，对任意 \(M>0\)，充分接近趋近点时都有 \(|f(x)|>M\)，故不可能在相应邻域内有统一上界。
知识点与易错点 无界只要求能取到任意大值，无穷大要求最终所有值都足够大。
解析 甲-8：单调有界与发散数列之和
答案 BCD（“有极限”按有限实数极限理解）。
详细解析
A 错：\(a_n=n\) 单调但没有有限极限。若另约定将 \(+\infty\) 也称广义极限，A 的表述需另作区分；本档采用通常收敛定义。
B 对，是单调有界定理。例如递增有上界时以各项集合的上确界为极限。
C 对：\(a_n=(-1)^n\)、\(b_n=-(-1)^n\) 均发散，但和恒为零。
D 对：第一类间断点要求左右极限都有限。跳跃间断点左右极限有限而不等，符合第一类的定义。
知识点与易错点 单调还需有界才能保证收敛；第一类间断点的核心是两侧极限有限。
解析 甲-9：严格单调有界但未必连续
答案 ACD。
详细解析
A 错：取 \(f(x)=\arctan x\)、\(x_n=n\)，原数列发散，函数值收敛。
B 对：函数值数列单调，且由 \(f\) 的全局有界性而有界，故收敛。
C 错：取 \(f(x)=\arctan x+\mathbf1_{[0,+\infty)}(x)\)，\(x_n=(-1)^n/n\)。此函数严格递增有界，\(x_n\to0\)，但函数值的两条奇偶子列分别趋于 \(0,1\)，所以发散。
D 错：仍取 \(f(x)=\arctan x\)、\(x_n=n\)，函数值单调，原数列不收敛。
若额外加上 \(f\) 连续，C 才能由连续函数的数列极限性质推出；原题没有该条件。
知识点与易错点 不要把单调性偷偷加强为连续性；反例需同时满足严格单调和有界。
解析 甲-10：分式递推的收敛性
答案 ABD（B 中“或”按逻辑析取理解）。
详细解析
先证收敛。由 \(x_1\ge0\) 可归纳出所有 \(x_n\ge0\)，分母始终非零。设
\[t_n=\frac{x_n-3}{x_n+3}.\]
直接代入递推关系得到
\[t_{n+1}=-\frac12t_n,\qquad t_n=\left(-\frac12\right)^{n-1}t_1\to0.\]
再由 \(x_n=3(1+t_n)/(1-t_n)\)，得 \(x_n\to3\)。因此 A、D 真，C 假。
B 项：“以 \(3\) 或 \(-3\) 为极限”表示极限属于集合 \(\{3,-3\}\)。既然实际极限为 \(3\)，B 也成立。但在给定的非负初值条件下，\(-3\) 不可能成为极限。
只把递推式形式取极限得到 \(L=\pm3\) 不能证明收敛，也不能替代初值约束。
知识点与易错点 先证存在再解不动点；“或”与“两个都可能”的语义不同。
解析 另甲-1：平方和极限
答案 \(1/3\)。
详细解析
用平方和公式，
\[\frac{\sum_{k=1}^{n-1}k^2}{n^3}=\frac{(n-1)n(2n-1)}{6n^3}\to\frac13.\]
也可写成 \(\frac1n\sum_{k=1}^{n-1}(k/n)^2\)，是 \(\int_0^1t^2\,dt\) 的黎曼和，但初学阶段直接求和更简洁。
知识点与易错点 多项式求和先用公式；注意求和上界是 n−1。
解析 另甲-2：根式变项数列和
答案 \(1/2\)。
详细解析
由 \(k\le\sqrt{k(k+1)}\le k+1\)，且 \(n^2\le n^2+k\le n^2+n\)，可得
\[\frac{\sum_{k=1}^n k}{n^2+n}\le\sum_{k=1}^n\frac{\sqrt{k(k+1)}}{n^2+k}\le\frac{\sum_{k=1}^n(k+1)}{n^2}.\]
左端恰为 \(1/2\)，右端为 \(1/2+3/(2n)\)，都趋于 \(1/2\)。由夹逼定理原极限为 \(1/2\)。这是对整个变项数列和作统一估计，不能只看每一项趋于零。
知识点与易错点 和 2024–2025 年第 21 题相同，统一放缩得到极限。
解析 另甲-3：多个不同指数项之和
答案 2。
详细解析
第一项除以 \(n\) 恰为 \(1\)，剩余 \(n-1\) 项都不小于 \(1\)，因此全式至少为 \(1+(n-1)/n\to2\)。
证明上界时，不能用所有项均不超过 \(\sqrt n\) 这一过粗估计。取 \(m=\lfloor\sqrt n\rfloor\)。对 \(n\ge4\)，将余项分成 \(k=2\)、\(3\le k\le m\)、\(m+1\le k\le n\)：
\[\frac1n\sum_{k=2}^n n^{1/k}\le\frac{\sqrt n}{n}+\frac{m\,n^{1/3}}n+\frac{n-m}{n}n^{1/(m+1)}.\]
前两项分别趋于 \(0\)，因为 \(m\le\sqrt n\)；最后一项趋于 \(1\)，因为 \(\ln n/(m+1)\to0\)。结合下界，余项除以 \(n\) 趋于 \(1\)，总极限为 \(2\)。
知识点与易错点 项数增长的和需分段估计；有限大项与大量接近 1 的项贡献不同。
解析 另甲-4：有限乘积的最高次项
答案 \(n^{-n(n+1)/2}\)（取 \(x\to+\infty\)）。
详细解析
分子总次数为 \(1+2+\cdots+n=n(n+1)/2\)。将各项的最高次幂提出：
\[\frac{\prod_{k=1}^n(x^k+1)}{[(nx)^n+1]^{(n+1)/2}}=\frac{\prod_{k=1}^n(1+x^{-k})}{n^{n(n+1)/2}[1+(nx)^{-n}]^{(n+1)/2}}.\]
有限个因子都趋于 \(1\)，所以得到上述答案。
本题在正无穷方向比较最高次项；负无穷方向还涉及符号变化，不可直接照搬正无穷的结论。
知识点与易错点 乘积总次数是指数之和；最高次项系数与趋近方向都要保留。
解析 另甲-5：三角底数的一的无穷次幂
答案 \(e^{-1}\)。
详细解析
令 \(t=\sin^2x\to0^+\)，则 \(\cos^2x=1-t\)，原式为 \((1-t)^{1/t}\)。取对数，\(\ln(1-t)/t\to-1\)，所以原极限为 \(e^{-1}\)。底数在零点附近为正，取对数合法。
知识点与易错点 先用恒等式把底数与指数改成同一个小量。
解析 另甲-6：算术平均与几何平均迭代
答案 两列收敛于同一个非负数；若 \(a=0\)，共同极限为 0。
详细解析
第 1 项满足 \(x_1<y_1\)，但由算术—几何平均不等式，从第 2 项起顺序反过来：\(x_n\ge y_n\ge0\)。必须从 \(n\ge2\) 开始证明单调性。
对 \(n\ge2\)，有
\[y_n\le x_{n+1}=\frac{x_n+y_n}2\le x_n,\qquad y_n\le y_{n+1}=\sqrt{x_ny_n}\le x_n.\]
故 \(\{x_n\}_{n\ge2}\) 单调不增，\(\{y_n\}_{n\ge2}\) 单调不减；两者都夹在 \([0,x_2]\) 内，各自收敛。记极限为 \(X,Y\)，由平均值递推和连续性得 \(X=(X+Y)/2\)，所以 \(X=Y\)。
若 \(a=0\)，则 \(y_n=0\) 对所有 \(n\ge2\) 成立，\(x_2=b/2\)，之后 \(x_n=b/2^{n-1}\to0\)。一般 \(a>0\) 时共同极限无需由初等闭式表示。
知识点与易错点 两列夹逼时先检查初始顺序是否在迭代后交换。
解析 另甲-7：隐式定义的根与指数极限
答案 唯一正根存在；所求极限为 \(e^2\)。
详细解析
对固定 \(n\)，\(x^n+nx-2\) 连续严格递增。在延拓后的端点 \(f_n(0)=-2<0\)，而 \(f_n(2)=2^n+2n-2>0\)，由介值定理至少有一个正根，再由严格递增性保证唯一。
根满足 \(x_n^n+nx_n=2\)，所以 \(0<x_n<2/n\)，进而 \(x_n\to0\)。对 \(n\ge3\)，
\[0<x_n^n<(2/n)^n\to0,\]
故 \(nx_n=2-x_n^n\to2\)。于是
\[n\ln(1+x_n)=nx_n\frac{\ln(1+x_n)}{x_n}\to2,\]
取指数得到 \(e^2\)。核心是从根方程估计 \(x_n\) 的尺度，而非试图写出高次方程根式。
知识点与易错点 根的存在与唯一分别用介值定理和单调性；根方程给出尺度。
解析 乙-4：有界振荡乘无穷小
答案 1。
详细解析
第一项由重要极限趋于 \(1\)。第二项满足 \(|x\sin(1/x)|\le|x|\to0\)，由夹逼定理趋于 \(0\)。故和的极限为 \(1\)。虽然 \(\sin(1/x)\) 本身无极限，但它被趋于零的 \(x\) 控制，乘积仍有极限。
知识点与易错点 振荡因子有界时，乘无穷小可用绝对值夹逼。
解析 乙-5：分式底数的幂指极限
答案 \(e^6\)。
详细解析
零点附近底数为正，取对数得到
\[\frac{\ln(1+4x)-\ln(1-2x)}x\to4-(-2)=6.\]
由指数函数连续性，原式趋于 \(e^6\)。也可将底数改写成 \(1+6x/(1-2x)\)，用 \(\ln(1+t)\sim t\) 得到相同结果。
知识点与易错点 分式底数取对数后变成对数之差，符号决定最后的常数。
解析 乙-6：函数极限定义的量词顺序
答案 D。
详细解析
标准定义是：给定任意误差 \(\varepsilon\)，可依赖它选取邻域大小 \(\delta\)，使定义域中所有满足 \(0<|x-x_0|<\delta\) 的点都满足误差要求。
A、B 只保证某个固定误差下局部有界，不能让误差任意小。例如 \(f(x)\equiv a+1\) 取 \(\varepsilon=2\) 即满足，但极限不是 \(a\)。
C 只保证邻域内能找到一个好点，而非所有点都好；例如有理点取 \(a\)、无理点取 \(a+1\) 的函数，在每个去心邻域都能找到满足条件的有理点，却不趋于 \(a\)。
D 量词顺序和全称范围都正确。去心邻域中的 \(x\) 应限于函数定义域，且 \(x_0\) 应是定义域聚点。
知识点与易错点 任意误差、存在半径、所有邻域点：顺序和量词类型都不可交换。
解析 乙-补充：绝对值极限的充分必要条件
答案 一般为充分不必要条件；当给定的 \(a=0\) 时，为充要条件。
详细解析
充分性来自反三角不等式：
\[\big||a_n|-|a|\big|\le|a_n-a|\to0.\]
若 \(a\ne0\)，反向不成立：取 \(a_n=-a\)，则 \(|a_n|\equiv|a|\)，但 \(a_n\) 不趋于 \(a\)；也可取 \(a_n=(-1)^na\) 使原数列发散。因此一般选“充分不必要”。
若 \(a=0\)，\(|a_n|\to0\) 与 \(a_n\to0\) 完全等价。题干没有排除 \(a=0\)，故归档保留该特例，避免将一般选择题答案误当作对每个固定参数都无例外。
知识点与易错点 连续变换保留极限，但可能丢失符号信息；参数为零时须另讨论。
第三部分：知识点总结
答案与考点索引
| 题号 | 答案或结论 | 主要考点 |
|---|---|---|
| 甲-1 | \(1/3\)。 | 复合根式的等价无穷小 |
| 甲-2 | \(1/2\)。 | 有界扰动的变项数列和 |
| 甲-3 | \(\pi/2\)（采用 \(\operatorname{arccot}x\in(0,\pi)\) 的主值约定）。 | 反正切与反余切 |
| 甲-4 | \(a=1\)，\(b=-1/2\)。 | 正无穷处的斜渐近线 |
| 甲-5 | 1 个：仅 \(x=1\)。 | 对数分母的可去间断点 |
| 甲-6 | 定义域为 \(\mathbb R\setminus\{\pi/2+k\pi:k\in\mathbb Z\}\)；奇函数；最小正周期为 \(\pi\)；各连续分支严格递增，全定义域上不单调。 | 反正切复合正切的锯齿函数 |
| 甲-7 | AD（各项在同一趋近过程下理解）。 | 无穷小与无界函数 |
| 甲-8 | BCD（“有极限”按有限实数极限理解）。 | 单调有界与发散数列之和 |
| 甲-9 | ACD。 | 严格单调有界但未必连续 |
| 甲-10 | ABD（B 中“或”按逻辑析取理解）。 | 分式递推的收敛性 |
| 另甲-1 | \(1/3\)。 | 平方和极限 |
| 另甲-2 | \(1/2\)。 | 根式变项数列和 |
| 另甲-3 | 2。 | 多个不同指数项之和 |
| 另甲-4 | \(n^{-n(n+1)/2}\)（取 \(x\to+\infty\)）。 | 有限乘积的最高次项 |
| 另甲-5 | \(e^{-1}\)。 | 三角底数的一的无穷次幂 |
| 另甲-6 | 两列收敛于同一个非负数；若 \(a=0\)，共同极限为 0。 | 算术平均与几何平均迭代 |
| 另甲-7 | 唯一正根存在；所求极限为 \(e^2\)。 | 隐式定义的根与指数极限 |
| 乙-4 | 1。 | 有界振荡乘无穷小 |
| 乙-5 | \(e^6\)。 | 分式底数的幂指极限 |
| 乙-6 | D。 | 函数极限定义的量词顺序 |
| 乙-补充 | 一般为充分不必要条件；当给定的 \(a=0\) 时，为充要条件。 | 绝对值极限的充分必要条件 |
跨班重复题对照
| 乙卷材料说明 | 对应本档位置 |
|---|---|
| 三道单选与甲卷第 3、4、6 题相同 | 甲-3、甲-4、甲-6 |
| 三道多选与甲卷第 8、9、10 题相同 | 甲-8、甲-9、甲-10 |
| 独有的极限计算 | 乙-4、乙-5 |
| 极限定义选择题 | 乙-6（按位置编排） |
| 绝对值极限条件题 | 乙-补充 |
复习路线与方法归纳
- 重要极限与等价无穷小：甲-1、另甲-5、乙-4、乙-5。计算前先辨认底数是否趋于 1、分子是否有高阶抵消，以及振荡因子是否有界。
- 变项数列和：甲-2、另甲-1 至另甲-3。先尝试精确求和，再尝试主项加扰动；放缩必须足以控制总和，而不是只控制单个固定项。
- 递推与隐式根：甲-10、另甲-6、另甲-7。分别适合分式线性化、双列单调夹逼、从根方程寻找尺度。仅解形式上的极限方程不构成存在性证明。
- 反函数与主值：甲-3、甲-6。必须记住主值范围，反函数复合并非处处恒等。
- 概念判断与量词：甲-7 至甲-9、乙-6、乙-补充。为每个错误命题给满足全部前提的反例，区分“充分”“必要”“充要”及特殊参数。
常用工具
\[\sqrt{U}-\sqrt{V}=\frac{U-V}{\sqrt U+\sqrt V},\qquad |\sin t|\le1,\qquad \big||u|-|v|\big|\le|u-v|.\]
\[\sin t\sim t,\quad \tan t\sim t,\quad \ln(1+t)\sim t,\quad (1+t)^a-1\sim at\quad(t\to0,\ a\ne0\text{ 固定}).\]
单调有界定理证明有限极限存在；介值定理证明根存在，严格单调性证明根唯一。以上工具均需先检查适用条件。
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