2024-2025 学年上学期《微积分》第一次小测归档

2024-2025 学年微积分第一次小测：题目归档、详细解析与知识点总结。

来源：微信公众号“路老师的nonsense collection”文章《微积分24-25学年上学期第一次小测题整理》。

本资料为多个班级的小测题目汇编。按原有分组保留题目，未标明的时间、分值不作补充。

原汇编共 25 题；第 4、9、14 题星号表示合并类似题的选项，第 2 题保留另一时间版本。选项按截图保留，不能据此倒推各原卷实际题型与分值。

第一部分：题目

1. 等价无穷小的阶与系数

当 \(x\to1\) 时，\(\alpha(x)=1+\cos\pi x\) 与 \(\beta(x)=A(x-1)^n\) 为等价无穷小量，求 \(A,n\)。

2. 对数函数的奇偶性与周期性

判断函数

\[f(x)=\ln\left(x+\sqrt{x^2+2024^2}\right)-\ln2024\]

的奇偶性与周期性。

另一小测时间的变式：将式中两处 \(2024\) 均改为 \(2025\)。

3. 严格单调有界函数与数列

设 \(f(x)\) 在 \(\mathbb R\) 上严格单调有界，\(\{x_n\}\) 为实数列，选出错误陈述。

• A. 若 \(\{f(x_n)\}\) 单调，则 \(\{x_n\}\) 必收敛。
• B. 若 \(\{x_n\}\) 收敛，则 \(\{f(x_n)\}\) 必收敛。
• C. 若 \(\{x_n\}\) 单调，则 \(\{f(x_n)\}\) 必收敛。
• D. 若 \(\{f(x_n)\}\) 收敛，则 \(\{x_n\}\) 必收敛。
• E. 其他选项均不能选。

4*. 发散数列经过变换后的收敛性

已知 \(a_n\in\mathbb R\)、\(a_n\ne0\)，且 \(\{a_n\}\) 发散。下列哪些数列必发散？

• A. \(\{a_n+2/a_n\}\)。
• B. \(\{2^{a_n}+2^{-a_n}\}\)。
• C. \(\{a_n-1/a_n\}\)。
• D. \(\{2^{a_n}-2^{-a_n}\}\)。
• E. \(\{e^{a_n}+e^{-a_n}\}\)。
• F. \(\{e^{a_n}+e^{-a_n}\}\)。
• G. 其他选项均不能选。

星号表示合并类似题的选项；E、F 为重复项。

5. 立方根之差极限

求 \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}x\left(\sqrt[3]{x^3+1x}-\sqrt[3]{x^3-5x}\right)\)。

6. 立方根之差极限

求 \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}x\left(\sqrt[3]{x^3+5x}-\sqrt[3]{x^3-4x}\right)\)。

7. 先求逐点极限再判断连续性

求 \(f(x)=\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{1+x}{1+x^{2n}}\) 的间断点。

8. 先求逐点极限再判断连续性

求 \(f(x)=\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{2x^2+x-1}{1+x^{2n}}\) 的间断点。

9*. 幂指型极限的逐项判断

下列极限计算正确的是：

• A. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(1+2x)^{2/x}=e^2\)。
• B. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(1+x)^{1/x}=e\)。
• C. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(1+2/x)^x=e^2\)。
• D. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(1-1/x)^{2x}=e^2\)。
• E. \(\displaystyle\lim_{x\to0}((2x+1)/(x+1))^{1/x}=e^2\)。
• F. \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}((x+3)/(x+1))^x=e^2\)。
• G. \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(1-x)^{1/x}=e\)。
• H. 其他选项均不能选。

10. 含绝对值的幂函数间断点

求 \(f(x)=|x-1|^{1/[x(x-2)]}\) 的第一类间断点个数。

11. 幂函数的第一类间断点

求 \(f(x)=|x|^{1/[(1-x)(x-2)]}\) 的第一类间断点个数。

12. 无穷小的比值分类

设 \(\alpha(x)=\frac{8-x}{4+x}\)，\(\beta(x)=2-\sqrt[3]x\)。当 \(x\to8\) 时，判断二者为高阶、低阶、同阶非等价还是等价无穷小。

13. 无穷小的比值分类

设 \(\alpha(x)=\frac{1-x}{2+x}\)，\(\beta(x)=1-\sqrt[3]x\)。当 \(x\to1\) 时，判断二者为高阶、低阶、同阶非等价还是等价无穷小。

14*. 子列与柯西准则的量词

下列叙述正确的是：

• A. 若有界实数列 \(\{a_n\}\) 发散，则存在它的两个收敛子列，且极限不等。
• B. 实数列 \(\{a_n\}\) 收敛当且仅当 \(\forall\varepsilon>0\) 及 \(\forall p\in\mathbb N_+\)，\(\exists N>0\)，当 \(n>N\) 时有 \(|a_{n+p}-a_n|<\varepsilon\)。
• C. 若 \(\{a_n^2\}\) 收敛，则 \(\{a_n\}\) 必收敛。
• D. 若 \(\{a_n^3\}\) 收敛，则 \(\{a_n\}\) 必收敛。
• E. \(\{a_n\}\) 收敛 \(\Longleftrightarrow\) 对任意 \(m\in\mathbb N_+\)，\(\lim_{n\to+\infty}(a_{n+m}-a_n)=0\)。
• F. 其他选项均不能选。

15. 负无穷处的斜渐近项

已知 \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(\sqrt{4x^2-12x-3}-ax-b)=4\)，求 \(a,b\)。

16. 无穷方向与双侧极限

以下说法正确的是（\(x\to\infty\) 按 \(|x|\to\infty\) 理解）：

• A. \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\arctan x=\pi/2\)。
• B. \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\sin(3x)/x=3\)。
• C. \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}x\sin(3/x)=3\)。
• D. \(\displaystyle\lim_{x\to0}e^{1/x}=\infty\)。
• E. 其他选项均不能选。

17. 极限的保号性与点值

已知 \(\lim_{x\to0}f(x)=2025\)，下列说法正确的是：

• A. \(\exists\delta>0\)，当 \(0<|x|<\delta\) 时，\(f(x)\ne2025\)。
• B. \(\exists\delta>0\)，当 \(0<|x|<\delta\) 时，\(f(x)>2024\)。
• C. \(f(0)=2025\)。
• D. \(f\) 在 \(x=0\) 处无定义。
• E. 其他选项均不能选。

18. 反三角函数主值

设 \(a=\arcsin(-1/2)\)，\(b=\arccos(-1/2)\)，求 \(a+b\)。

19. 无穷小主项与符号

当 \(x\to0\) 时，下列说法错误的是：

• A. \(x+x^2\) 为二阶无穷小。
• B. 若 \(f(x)=e^{\sqrt{1-x^2}}-e\) 与 \(g(x)=Ax^2\) 为等价无穷小，则 \(A=e/2\)。
• C. \(2^x-1\) 与 \((6^x-1)/\ln3\) 为等价无穷小。
• D. \(\alpha(x)=\frac12(e^{x^2}-1)\) 与 \(\beta(x)=1-\cos x\) 为等价无穷小。
• E. 其他选项均不能选。

20. 数列运算与开方

以下说法错误的是：

• A. 若 \(\{a_n\},\{b_n\}\) 收敛，则 \(\{a_nb_n\}\) 可能收敛。
• B. 若 \(\{a_n\}\) 收敛、\(\{b_n\}\) 发散，则 \(\{a_n+b_n\}\) 一定发散。
• C. 若正项数列 \(\{a_n\},\{b_n\}\) 均发散，则 \(\{a_n+b_n\}\) 一定发散。
• D. 若正项数列 \(a_n\to0\)，则 \(\sqrt[n]{a_n}\to0\)。
• E. 其他选项均不能选。

21. 带根号的变项数列和

求 \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^n\frac{\sqrt{k(k+1)}}{n^2+k}\)。

22. 三角差式的高阶抵消

求 \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin2x-2\sin x}{x^3}\)。

23. 三角底数的幂指极限

求 \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}(\sin(1/x)+\cos(1/x))^x\)。

24. 正弦递推的收敛证明

设 \(0<x_0<\pi/2\)，\(x_n=\sin x_{n-1}\)（\(n\in\mathbb N_+\)）。证明 \(\{x_n\}\) 收敛并求极限。

25. 黎曼函数的连续点

在 \([0,1]\) 上定义

\[f(x)=\begin{cases}1/q,&x=p/q\text{ 为不可约分数，}q\in\mathbb N_+,\\0,&x\text{ 为无理数}.\end{cases}\]

函数在哪些点连续？为什么？

第二部分：详细解析

解析 1：等价无穷小的阶与系数

答案 \(A=\pi^2/2\)，\(n=2\)。

详细解析

令 \(t=x-1\to0\)，则

\[1+\cos\pi x=1-\cos\pi t=2\sin^2\frac{\pi t}{2}\sim\frac{\pi^2}{2}t^2.\]

故主导项为 \(\frac{\pi^2}{2}(x-1)^2\)。要使与 \(A(x-1)^n\) 的比值趋于 \(1\)，幂次和系数须分别相同。

知识点与易错点 先平移趋近点，再比较首个非零主导项；等价要求比值趋于 1。

解析 2：对数函数的奇偶性与周期性

答案 两种版本都是定义在实数集上的奇函数，严格递增，无正周期。

详细解析

统一记常数为 \(c>0\)。因 \(\sqrt{x^2+c^2}>|x|\)，对数真数恒正，定义域是 \(\mathbb R\)。又

\[\left(\sqrt{x^2+c^2}+x\right)\left(\sqrt{x^2+c^2}-x\right)=c^2,\]

所以

\[f(-x)=\ln\frac{\sqrt{x^2+c^2}-x}{c}=-\ln\frac{\sqrt{x^2+c^2}+x}{c}=-f(x).\]

求导得 \(f'(x)=1/\sqrt{x^2+c^2}>0\)，故严格递增；若有正周期 \(T\)，则 \(f(x+T)>f(x)\) 与周期性矛盾。不使用导数时，也可由 \(x+\sqrt{x^2+c^2}\) 严格递增来证明。

知识点与易错点 对数奇偶性常用共轭乘积；非恒定严格单调函数不能周期变化。

解析 3：严格单调有界函数与数列

答案 ABD（选错误项）。

详细解析

A 错：取 \(f(x)=\arctan x\)、\(x_n=n\)。函数值单调且有界，但 \(x_n\) 发散。

B 错：严格单调不保证连续。取

\[f(x)=\arctan x+\begin{cases}0,&x<0,\\1,&x\ge0,\end{cases}\qquad x_n=\frac{(-1)^n}{n}.\]

此函数严格递增有界，\(x_n\to0\)，而偶、奇下标函数值分别趋于 \(1,0\)，不收敛。

C 对：单调函数作用于单调数列，所得数列仍单调（方向可能反转）；再由 \(f\) 有界，用单调有界定理得收敛。

D 错：仍取 \(f(x)=\arctan x\)、\(x_n=n\)，函数值趋于 \(\pi/2\)，原数列发散。E 因已有错误项而不选。

知识点与易错点 单调不等于连续；函数值有界不能倒推自变量有界。

解析 4*：发散数列经过变换后的收敛性

答案 D。

详细解析

用逆否命题判断“变换后收敛能否推出原数列收敛”。

A 不一定：令 \(a_n\) 在 \(1,2\) 之间交替，则原数列发散，但 \(a_n+2/a_n\equiv3\)。

B、E、F 不一定：取 \(a_n=(-1)^n\)，因变换函数是偶函数，结果分别恒为 \(5/2\)、\(e+e^{-1}\)。

C 不一定：仍取 \(a_n=(-1)^n\)，则 \(a_n-1/a_n\equiv0\)。虽然 \(t-1/t\) 在正半轴与负半轴上分别严格递增，却不是整个 \(\mathbb R\setminus\{0\}\) 上的一一映射。

D 必发散：\(h(t)=2^t-2^{-t}\) 在 \(\mathbb R\) 上连续严格递增，值域是 \(\mathbb R\)，其连续反函数为

\[h^{-1}(u)=\log_2\frac{u+\sqrt{u^2+4}}2.\]

若 \(h(a_n)\to L\in\mathbb R\)，则 \(a_n\to h^{-1}(L)\)，与已知发散矛盾。故 D 正确，G 不选。

知识点与易错点 检查变换的全定义域与单射性；分段单调不足以建立全局逆推。

解析 5：立方根之差极限

答案 2。

详细解析

令 \(u=\sqrt[3]{x^3+1x}\)、\(v=\sqrt[3]{x^3-5x}\)。由立方差公式，

\[x(u-v)=\frac{(1-(-5))x^2}{u^2+uv+v^2}.\]

由于 \(u/x\to1\)、\(v/x\to1\)，将分子分母除以 \(x^2\)，得极限 \((1-(-5))/3=2\)。

该证明对 \(x\to+\infty\) 与 \(x\to-\infty\) 都成立，因此双向无穷极限也存在。

知识点与易错点 根式相减优先有理化；必须把分母整体的极限算清。

解析 6：立方根之差极限

答案 3。

详细解析

令 \(u=\sqrt[3]{x^3+5x}\)、\(v=\sqrt[3]{x^3-4x}\)。由立方差公式，

\[x(u-v)=\frac{(5-(-4))x^2}{u^2+uv+v^2}.\]

由于 \(u/x\to1\)、\(v/x\to1\)，将分子分母除以 \(x^2\)，得极限 \((5-(-4))/3=3\)。

该证明对 \(x\to+\infty\) 与 \(x\to-\infty\) 都成立，因此双向无穷极限也存在。

知识点与易错点 根式相减优先有理化；必须把分母整体的极限算清。

解析 7：先求逐点极限再判断连续性

答案 仅 \(x=1\)，为跳跃间断点。

详细解析

固定 \(x\) 后，按 \(|x|\) 分类：\(|x|<1\) 时 \(x^{2n}\to0\)，\(|x|>1\) 时 \(x^{2n}\to+\infty\)，\(x=\pm1\) 时分母恒为 \(2\)。所以

\[f(x)=\begin{cases}1+x,&|x|<1,\\1,&x=1,\\0,&x=-1\text{ 或 }|x|>1.\end{cases}\]

在 \(x=-1\)，内侧多项式极限和外侧零函数极限均为 \(0=f(-1)\)，因此连续。在 \(x=1\)，左极限为 \(2\)，右极限为 \(0\)，二者有限但不相等，故为跳跃间断点；其他点处在连续表达式内部。

不能直接对每个有限 \(n\) 的函数作连续性判断来代替对极限函数的判断。

知识点与易错点 逐点极限可改变连续性；边界点需独立计算函数值与左右极限。

解析 8：先求逐点极限再判断连续性

答案 仅 \(x=1\)，为跳跃间断点。

详细解析

固定 \(x\) 后，按 \(|x|\) 分类：\(|x|<1\) 时 \(x^{2n}\to0\)，\(|x|>1\) 时 \(x^{2n}\to+\infty\)，\(x=\pm1\) 时分母恒为 \(2\)。所以

\[f(x)=\begin{cases}2x^2+x-1,&|x|<1,\\1,&x=1,\\0,&x=-1\text{ 或 }|x|>1.\end{cases}\]

在 \(x=-1\)，内侧多项式极限和外侧零函数极限均为 \(0=f(-1)\)，因此连续。在 \(x=1\)，左极限为 \(2\)，右极限为 \(0\)，二者有限但不相等，故为跳跃间断点；其他点处在连续表达式内部。

不能直接对每个有限 \(n\) 的函数作连续性判断来代替对极限函数的判断。

知识点与易错点 逐点极限可改变连续性；边界点需独立计算函数值与左右极限。

解析 9*：幂指型极限的逐项判断

答案 CF。

详细解析

各项在趋近方向上底数均最终为正，取对数后逐项计算：

选项	对数的极限	原式实际极限	判断
A	\(2\ln(1+2x)/x\to0\)	\(1\)	错
B	\(\ln(1+x)/x\to0\)	\(1\)	错
C	\(x\ln(1+2/x)\to2\)	\(e^2\)	对
D	\(2x\ln(1-1/x)\to-2\)	\(e^{-2}\)	错
E	\([\ln(1+2x)-\ln(1+x)]/x\to1\)	\(e\)	错
F	\(x\ln(1+2/(x+1))\to2\)	\(e^2\)	对
G	\(\ln(1-x)/x\to0\)	\(1\)	错

F 在 \(x\to\pm\infty\) 时均得到 \(e^2\)。H 不选。基本依据是 \(\ln(1+t)\sim t\)（\(t\to0\)），而不是看到类似外形就套 \((1+1/t)^t\to e\)。

知识点与易错点 先检查底数，再取对数；趋近方向和指数位置都不可省略。

解析 10：含绝对值的幂函数间断点

答案 2 个：\(x=0,2\)（可去）；\(x=1\) 为第二类。

详细解析

自然定义域为 \(\mathbb R\setminus\{0,1,2\}\)。\(x=1\) 是 \(0^{-1}\)，无定义。其余点写成

\[f(x)=\exp\frac{\ln|x-1|}{x(x-2)}.\]

当 \(x\to0\)，\(\ln(1-x)\sim-x\)，故指数趋于 \(1/2\)；当 \(x\to2\)，\(\ln(x-1)\sim x-2\)，指数也趋于 \(1/2\)。两点极限均为 \(e^{1/2}\)，可补值消除缺口。

当 \(x\to1\)，分子趋于 \(-\infty\)，分母趋于 \(-1\)，故指数趋于 \(+\infty\)，函数极限为 \(+\infty\)。按题目将定义域缺口纳入间断点分类的惯例，只有 \(0,2\) 为第一类。

知识点与易错点 指数函数先取对数；有限极限缺口与无穷间断点要区分。

解析 11：幂函数的第一类间断点

答案 1 个：\(x=1\)（可去）；\(x=0,2\) 为第二类。

详细解析

自然定义域排除 \(0,1,2\)，其余点连续。令

\[g(x)=\frac{\ln|x|}{(1-x)(x-2)},\qquad f(x)=e^{g(x)}.\]

在 \(x=0\)，分母趋于 \(-2\)，分子趋于 \(-\infty\)，故 \(f(x)\to+\infty\)，为无穷间断点。

在 \(x=1\)，\(\ln x\sim x-1\)，而 \((1-x)(x-2)\sim x-1\)，所以 \(g(x)\to1\)，\(f(x)\to e\)，为可去间断点。

在 \(x=2\)，分子趋于 \(\ln2>0\)；分母从左趋于 \(0^+\)，从右趋于 \(0^-\)，所以 \(f(2-)=+\infty\)、\(f(2+)=0\)。至少一侧不为有限极限，属于第二类。

知识点与易错点 有限底数的“无穷次幂”必须分析指数符号与两侧方向。

解析 12：无穷小的比值分类

答案 等价无穷小。

详细解析

利用立方差分解，

\[8-x=(2-\sqrt[3]x)(4+2\sqrt[3]x+\sqrt[3]{x^2}).\]

因此

\[\lim_{x\to8}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=\lim_{x\to8}\frac{4+2\sqrt[3]x+\sqrt[3]{x^2}}{4+x}=\frac{12}{12}=1.\]

两者均趋于 \(0\)，比值为 \(1\)，故等价；若比值是其他非零有限常数，才是同阶非等价。

知识点与易错点 比值极限为 0、非零有限值或无穷分别对应不同阶关系。

解析 13：无穷小的比值分类

答案 等价无穷小。

详细解析

利用立方差分解，

\[1-x=(1-\sqrt[3]x)(1+1\sqrt[3]x+\sqrt[3]{x^2}).\]

因此

\[\lim_{x\to1}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=\lim_{x\to1}\frac{1+1\sqrt[3]x+\sqrt[3]{x^2}}{2+x}=\frac{3}{3}=1.\]

两者均趋于 \(0\)，比值为 \(1\)，故等价；若比值是其他非零有限常数，才是同阶非等价。

知识点与易错点 比值极限为 0、非零有限值或无穷分别对应不同阶关系。

解析 14*：子列与柯西准则的量词

答案 AD。

详细解析

A 对：有界数列有收敛子列，设其中一列趋于 \(L\)。若原数列不趋于 \(L\)，存在 \(\varepsilon_0>0\) 和无穷多项满足 \(|a_n-L|\ge\varepsilon_0\)。这些项组成有界子列，再提取收敛子列，极限 \(M\) 满足 \(|M-L|\ge\varepsilon_0\)，故 \(M\ne L\)。

B 错：按字面 \(N\) 可依赖固定的 \(p\)，不足以控制整个尾部。取 \(a_n=\ln n\)，它发散，但对每个固定的 \(p\)，

\[a_{n+p}-a_n=\ln(1+p/n)\to0.\]

真正的柯西准则要求

\[\forall\varepsilon>0,\ \exists N,\ \forall n>N,\ \forall p\in\mathbb N_+,\quad |a_{n+p}-a_n|<\varepsilon,\]

其中 \(N\) 必须对所有 \(p\) 统一有效，不能依赖于步长 \(p\)。

C 错：\(a_n=(-1)^n\)，平方恒为 \(1\)，原数列不收敛。D 对：若 \(a_n^3\to L\)，由实立方根函数连续得 \(a_n\to\sqrt[3]L\)。E 的正向成立，反向仍被 \(a_n=\ln n\) 否定。F 不选。

知识点与易错点 固定步长差趋于零弱于柯西准则；必须逐字检查量词依赖关系。

解析 15：负无穷处的斜渐近项

答案 \(a=-2\)，\(b=-1\)。

详细解析

因 \(x\to-\infty\)，\(\sqrt{4x^2}=2|x|=-2x\)，必须先消去线性发散项，故 \(a=-2\)。有理化得

\[\sqrt{4x^2-12x-3}+2x=\frac{-12x-3}{\sqrt{4x^2-12x-3}-2x}\to3.\]

于是原极限为 \(3-b=4\)，得到 \(b=-1\)。若误把 \(\sqrt{x^2}\) 写成 \(x\)，会同时弄错系数和常数项。

知识点与易错点 负无穷方向的根式提取绝对值；先消去最高阶，再匹配常数项。

解析 16：无穷方向与双侧极限

答案 C（双向无穷约定）。

详细解析

本题 \(x\to\infty\) 表示 \(|x|\to\infty\)，必须同时检查正、负无穷两个方向。

A：\(\arctan x\) 在 \(x\to+\infty\) 时趋于 \(\pi/2\)，在 \(x\to-\infty\) 时趋于 \(-\pi/2\)，因此双向无穷极限不存在。

B：\(|\sin(3x)/x|\le1/|x|\to0\)，实际极限为 \(0\)，两个无穷方向都不为 \(3\)。

C：令 \(t=3/x\to0\)，则 \(x\sin(3/x)=3\sin t/t\to3\)，两个方向都成立。

D：\(x\to0^+\) 时趋于 \(+\infty\)，\(x\to0^-\) 时趋于 \(0\)，双侧极限不存在。E 不选。

知识点与易错点 无符号无穷不能未经说明改为正无穷；双侧极限要求两侧一致。

解析 17：极限的保号性与点值

答案 B。

详细解析

取极限定义中的 \(\varepsilon=1\)，存在 \(\delta>0\)，使 \(0<|x|<\delta\) 时 \(|f(x)-2025|<1\)，故 \(f(x)>2024\)，B 对。

A 错：常值函数 \(f\equiv2025\) 即反例。C、D 都不能推出：极限只控制去心邻域，\(f(0)\) 可以等于 \(2025\)、等于其他数，也可以没有定义。E 不选。

知识点与易错点 极限控制附近函数值，不决定中心点值或中心点是否定义。

解析 18：反三角函数主值

答案 \(a+b=\pi/2\)。

详细解析

\(\arcsin\) 的主值范围为 \([-\pi/2,\pi/2]\)，所以 \(a=-\pi/6\)；\(\arccos\) 的主值范围为 \([0,\pi]\)，所以 \(b=2\pi/3\)。相加得 \(\pi/2\)。也可直接用 \(\arcsin t+\arccos t=\pi/2\)（\(-1\le t\le1\)）。

知识点与易错点 反三角函数是按主值范围选角，而不是求全部三角方程解。

解析 19：无穷小主项与符号

答案 ABC（选错误项）。

详细解析

A 错：\((x+x^2)/x=1+x\to1\)，相对于 \(x\) 是一阶，不是二阶。

B 错：

\[\sqrt{1-x^2}-1=\frac{-x^2}{\sqrt{1-x^2}+1}\sim-\frac{x^2}{2},\]

\[e^{\sqrt{1-x^2}}-e=e\left(e^{\sqrt{1-x^2}-1}-1\right)\sim-\frac e2x^2.\]

因此等价无穷小的系数为 \(A=-e/2\)，B 错。

C 错：\(a^x-1\sim x\ln a\)，两式比值趋于 \(\ln2\ln3/\ln6\ne1\)，只是同阶非等价。为说明不等于 \(1\)：\(\ln3<2\)、\(\ln2<1\)，故 \(\ln2\ln3<\ln2+\ln3=\ln6\)。

D 对：二者都等价于 \(x^2/2\)。E 不选。

知识点与易错点 无穷小阶数由首项决定；复合指数展开不能忽略内层的符号。

解析 20：数列运算与开方

答案 CD（选错误项）。

详细解析

A 对：两个收敛数列的乘积必收敛，当然也满足较弱的“可能收敛”。

B 对：若和收敛，则 \(b_n=(a_n+b_n)-a_n\) 是两个收敛数列之差，也应收敛，矛盾。

C 错：取 \(a_n=2+(-1)^n\)、\(b_n=2-(-1)^n\)，两列都是正项发散数列，但和恒为 \(4\)。

D 错：取 \(a_n=2^{-n}\to0\)，则 \(\sqrt[n]{a_n}=1/2\)。实际上取 \(a_n=e^{-n^2}\)、\(2^{-n}\)、\(1/n\)，其 \(n\) 次方根极限分别为 \(0,1/2,1\)，说明开根后结果依赖衰减速率。E 不选。

知识点与易错点 发散不等于趋于正无穷；开 n 次方根应研究 ln(a_n)/n。

解析 21：带根号的变项数列和

答案 \(1/2\)。

详细解析

由 \(k\le\sqrt{k(k+1)}\le k+1\)，且 \(n^2\le n^2+k\le n^2+n\)，可得

\[\frac{\sum_{k=1}^n k}{n^2+n}\le\sum_{k=1}^n\frac{\sqrt{k(k+1)}}{n^2+k}\le\frac{\sum_{k=1}^n(k+1)}{n^2}.\]

左端恰为 \(1/2\)，右端为 \(1/2+3/(2n)\)，都趋于 \(1/2\)。由夹逼定理原极限为 \(1/2\)。这是对整个变项数列和作统一估计，不能只看每一项趋于零。

知识点与易错点 项数随 n 增长时需控制总误差；统一放缩比逐项取极限可靠。

解析 22：三角差式的高阶抵消

答案 \(-1\)。

详细解析

用倍角公式直接提出抵消后的因子：

\[\frac{\sin2x-2\sin x}{x^3}=2\frac{\sin x}{x}\frac{\cos x-1}{x^2}\to2\cdot1\cdot\left(-\frac12\right)=-1.\]

此法只用 \(\sin x\sim x\)、\(1-\cos x\sim x^2/2\)。不能分别把 \(\sin2x\)、\(2\sin x\) 都替换成 \(2x\)，否则丢失三阶信息。

知识点与易错点 相减前先因式分解；主项抵消后需保留更高阶项。

解析 23：三角底数的幂指极限

答案 \(e\)。

详细解析

令 \(t=1/x\to0\)，原式为 \((\sin t+\cos t)^{1/t}\)，底数在 \(t=0\) 附近为正。设 \(u=\sin t+\cos t-1\)，则

\[\frac ut=\frac{\sin t}{t}+\frac{\cos t-1}{t}\to1.\]

故 \(\ln(\sin t+\cos t)/t=(\ln(1+u)/u)(u/t)\to1\)，原极限为 \(e\)。正、负无穷两个方向结果相同。

知识点与易错点 幂指极限取对数后，找底数偏离 1 的主项。

解析 24：正弦递推的收敛证明

答案 \(x_n\to0\)。

详细解析

对 \(0<t<\pi/2\) 有 \(0<\sin t<t\)。由归纳法，各项均在 \((0,\pi/2)\) 内，且 \(0<x_n<x_{n-1}\)，所以数列严格递减并以下界 \(0\) 有界，存在极限 \(L\ge0\)。

利用正弦函数连续性在递推式两边取极限，得到 \(L=\sin L\)。又 \(L\in[0,x_0]\)，在此区间内 \(\sin t<t\) 对一切 \(t>0\) 成立，因此只能 \(L=0\)。必须先证收敛，不能只解不动点方程就宣布极限存在。

知识点与易错点 单调有界证明存在性；连续递推方程用于识别已经存在的极限。

解析 25：黎曼函数的连续点

答案 在所有无理数点连续，在所有有理数点不连续（端点按单侧理解）。

详细解析

先证明任一点 \(x_0\) 处沿定义域的去心极限都是 \(0\)。给定 \(\varepsilon>0\)，取正整数 \(Q\) 使 \(1/Q<\varepsilon\)。在 \([0,1]\) 中，既约分母 \(q\le Q\) 的有理数只有有限个。选择足够小的 \(\delta>0\)，使 \(0<|x-x_0|<\delta\) 时避开这些有限个点（若其中包含 \(x_0\)，去心条件已排除它）。

此时若 \(x\) 无理，\(f(x)=0\)；若 \(x=p/q\) 有理，则 \(q>Q\)，\(0<f(x)<\varepsilon\)。故 \(\lim_{x\to x_0}f(x)=0\)。

若 \(x_0\) 无理，\(f(x_0)=0\) 等于极限，因此连续。若 \(x_0=p/q\) 有理，\(f(x_0)=1/q>0\)，不等于极限，因此不连续，且是可去间断点。包括 \(0=0/1\)、\(1=1/1\) 两个端点。

知识点与易错点 有限个小分母点可用邻域避开；连续性比较极限与函数值。

第三部分：知识点总结

答案与考点索引

题号	答案或结论	主要考点
1	\(A=\pi^2/2\)，\(n=2\)。	等价无穷小的阶与系数
2	两种版本都是定义在实数集上的奇函数，严格递增，无正周期。	对数函数的奇偶性与周期性
3	ABD（选错误项）。	严格单调有界函数与数列
4*	D。	发散数列经过变换后的收敛性
5	2。	立方根之差极限
6	3。	立方根之差极限
7	仅 \(x=1\)，为跳跃间断点。	先求逐点极限再判断连续性
8	仅 \(x=1\)，为跳跃间断点。	先求逐点极限再判断连续性
9*	CF。	幂指型极限的逐项判断
10	2 个：\(x=0,2\)（可去）；\(x=1\) 为第二类。	含绝对值的幂函数间断点
11	1 个：\(x=1\)（可去）；\(x=0,2\) 为第二类。	幂函数的第一类间断点
12	等价无穷小。	无穷小的比值分类
13	等价无穷小。	无穷小的比值分类
14*	AD。	子列与柯西准则的量词
15	\(a=-2\)，\(b=-1\)。	负无穷处的斜渐近项
16	C（双向无穷约定）。	无穷方向与双侧极限
17	B。	极限的保号性与点值
18	\(a+b=\pi/2\)。	反三角函数主值
19	ABC（选错误项）。	无穷小主项与符号
20	CD（选错误项）。	数列运算与开方
21	\(1/2\)。	带根号的变项数列和
22	\(-1\)。	三角差式的高阶抵消
23	\(e\)。	三角底数的幂指极限
24	\(x_n\to0\)。	正弦递推的收敛证明
25	在所有无理数点连续，在所有有理数点不连续（端点按单侧理解）。	黎曼函数的连续点

复习路线与方法归纳

• 基础层：主值、定义域与极限定义。先复习第 2、16、17、18 题；遇到无符号无穷、绝对值和负指数，先确认含义与定义域。
• 计算层：寻找主导项。第 1、12、13、19 题用等价无穷小；第 5、6、15 题先有理化；第 9、23 题取对数；第 22 题先因式分解处理抵消。
• 数列层：证明收敛而非猜测极限。第 21 题控制整个和；第 24 题先单调有界，再解不动点。数列各项趋零不代表项数增长的和趋零。
• 判断层：每个反例都要满足全部前提。第 3、4、14、20 题建立反例清单：\((-1)^n\)、\(\ln n\)、\(\arctan n\)、跨越单调函数跳跃点的收敛数列。
• 连续性层：分清函数值与极限。第 7、8 题先列极限函数；第 10、11 题逐一核对候选缺口；第 25 题用有限个小分母点的避让构造 \(\varepsilon\)–\(\delta\) 证明。

常用工具

\[\sin t\sim t,\quad 1-\cos t\sim\frac{t^2}{2},\quad \ln(1+t)\sim t,\quad e^t-1\sim t,\quad (1+t)^a-1\sim at\quad(t\to0),\]

最后一个等价式对固定 \(a\ne0\) 使用。等价量可在乘除中替换；相减时若主项抵消，应先变形或保留更高阶信息。正底数幂指型 \(u(x)^{v(x)}\) 应先研究 \(v(x)\ln u(x)\)。

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