2025-2026 学年秋冬《微积分》第一次小测归档
原卷标题：2025～2026 学年 XRY&ZJF 微积分秋冬第一次小测（解析）。
考试时间：45 分钟。总分：100 分。题型：不定项选择（多选、漏选、错选均不给分），每题 10 分。
来源：原帖链接，共 5 页。原参考答案及解析署名：【CC98】路人甲苯色。
第一部分：题目
1.（10 分）
设 \(f(x)\) 是周期为 \(4\) 的偶函数，且 \(f(x)=x^2-2x\)（\(0\le x\le2\)），则 \(f'(\frac72)=\) ______。
- A. \(-2\)
- B. \(-1\)
- C. \(2\)
- D. \(1\)
2.（10 分）
下列陈述错误的是：
- A. 对数列 \(\{a_n\}\)，若 \(\{a_{2n-1}\}\) 与 \(\{a_{2n}\}\) 都收敛，则数列 \(\{a_n\}\) 也收敛。
- B. 对数列 \(\{a_n\}\) 与常数 \(A\in\mathbb R\)，若 \(\exists\varepsilon_0>0\)，\(\forall N>0\)，\(\exists n_0>N\)，有 \(|a_{n_0}-A|\ge\varepsilon_0\)，则数列 \(\{a_n\}\) 收敛。
- C. 设数列 \(\{a_n\}\) 满足 \(a_1=2\)，\(a_{n+1}=3a_n-\frac4{a_n+1}\)（\(n\ge1\)），则 \(\lim_{n\to+\infty}a_n=1\)。
- D. 若数列 \(\{a_n\}\) 收敛于 \(A\in\mathbb R\)，则：\(\exists N>0\)，\(\forall\varepsilon>0\)，当 \(n>N\) 时，有 \(|a_n-A|<\varepsilon\)。
3.（10 分）
函数 \(f(x)=\arcsin(\sin x)+\arccos(\cos x)\) 在 \([0,\pi]\) 上的表达式为：
- A. \(f(x)=\pi\)
- B. \(f(x)=2\pi\)
- C. \(f(x)=\begin{cases}2x,&0\le x\le\frac\pi2,\\\pi-x,&\frac\pi2<x\le\pi.\end{cases}\)
- D. \(f(x)=\begin{cases}2x,&0\le x\le\frac\pi2,\\\pi,&\frac\pi2<x\le\pi.\end{cases}\)
4.（10 分）
下列结论中，正确的个数有 ______ 个。
① \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin(x\sin\frac1x)}{x\sin\frac1x}=1\)。
② 若 \(0<a_n<1\)，则 \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}[1-(a_n)^n]=1\)。
③ \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{1+\frac1{\sqrt2}+\cdots+\frac1{\sqrt n}}=1\)。
④ \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(n!)^{1/n^2}=1\)。
- A. \(4\)
- B. \(3\)
- C. \(2\)
- D. \(1\)
5.（10 分）
下列关于极限计算正确的是：
- A. \(\displaystyle\lim_{x\to0}(\sqrt{\cos2x})^{1/x^2}=e^{-1}\)。
- B. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{2x+3}{2x+1}\right)^x=e\)。
- C. \(\displaystyle\lim_{x\to0}\left(\frac{3x-1}{x-1}\right)^{1/x}=e^{-2}\)。
- D. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(1+x)^{1/x}=e\)。
6.（10 分）
求极限
\[ \lim_{x\to+\infty}x\left(\sqrt[5]{x^5+10x^3-7}-\sqrt[3]{x^3-3x+4}\right)=\underline{\qquad}. \]
- A. \(\frac{23}{15}\)
- B. \(3\)
- C. \(\frac{16}{15}\)
- D. \(2\)
7.（10 分）
设 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 均为定义在 \(\mathbb R\) 上的函数，则下列陈述错误的是：
- A. 若 \(f(x)\) 是 \(\mathbb R\) 上的周期函数，则 \(g(f(x))\) 是 \(\mathbb R\) 上的周期函数。
- B. 若 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 是 \(\mathbb R\) 上的周期函数，则 \(f(x)+g(x)\) 也是 \(\mathbb R\) 上的周期函数。
- C. 若 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 是 \(\mathbb R\) 上的奇函数，则 \(f(g(x))\) 是 \(\mathbb R\) 上的偶函数。
- D. 若 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 在 \(\mathbb R\) 上单调递减，则 \(f(x)\cdot g(x)\) 在 \(\mathbb R\) 上单调递增。
8.（10 分）
下列陈述正确的是：
- A. 设函数 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，且其最小值与最大值分别为 \(m\) 和 \(M\)，则 \(f(x)\) 的值域为 \([m,M]\)。
- B. 若函数 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上只有第一类间断点，则 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上有界。
- C. 定义在 \([a,b]\) 上的函数 \(f(x)\)，若其值域为区间 \([m,n]\)（\(m<n\)，\(m,n\in\mathbb R\)），则 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续。
- D. 若函数 \(f(x)\) 在 \((a,b)\) 内连续，且 \(f(a+0)\) 和 \(f(b-0)\) 均存在，则函数 \(f(x)\) 在 \((a,b)\) 内有界。
9.（10 分）
设 \(\alpha(x)=\frac{1-x}{3+x}\)，\(\beta(x)=1-\sqrt[4]x\)，当 \(x\to1\) 时，下列陈述正确的是：
- A. \(\alpha(x)\) 与 \(\beta(x)\) 为同阶非等价无穷小量。
- B. \(\alpha(x)\) 与 \(\beta(x)\) 为等价无穷小量。
- C. \(\alpha(x)\) 是比 \(\beta(x)\) 更低阶的无穷小量。
- D. \(\alpha(x)\) 是比 \(\beta(x)\) 更高阶的无穷小量。
10.（10 分）
函数
\[f(x)=|x-1|^{\frac1{x(x-2)}}\]
的第一类间断点的个数为：
- A. \(0\)
- B. \(1\)
- C. \(2\)
- D. \(3\)
第二部分：详细解析
1.（10 分）
设 \(f(x)\) 是周期为 \(4\) 的偶函数，且 \(f(x)=x^2-2x\)（\(0\le x\le2\)），则 \(f'(\frac72)=\) ______。
- A. \(-2\)
- B. \(-1\)
- C. \(2\)
- D. \(1\)
答案 D。
解 周期性与偶性给出 \(f'(x+4)=f'(x)\)、\(f'(-x)=-f'(x)\)。又 \(f'(\frac12)=2\cdot\frac12-2=-1\)，因此
\[f'(\tfrac72)=f'(-\tfrac12)=-f'(\tfrac12)=1.\]
2.（10 分）
下列陈述错误的是：
- A. 对数列 \(\{a_n\}\)，若 \(\{a_{2n-1}\}\) 与 \(\{a_{2n}\}\) 都收敛，则数列 \(\{a_n\}\) 也收敛。
- B. 对数列 \(\{a_n\}\) 与常数 \(A\in\mathbb R\)，若 \(\exists\varepsilon_0>0\)，\(\forall N>0\)，\(\exists n_0>N\)，有 \(|a_{n_0}-A|\ge\varepsilon_0\)，则数列 \(\{a_n\}\) 收敛。
- C. 设数列 \(\{a_n\}\) 满足 \(a_1=2\)，\(a_{n+1}=3a_n-\frac4{a_n+1}\)（\(n\ge1\)），则 \(\lim_{n\to+\infty}a_n=1\)。
- D. 若数列 \(\{a_n\}\) 收敛于 \(A\in\mathbb R\)，则：\(\exists N>0\)，\(\forall\varepsilon>0\)，当 \(n>N\) 时，有 \(|a_n-A|<\varepsilon\)。
答案 ABCD（选出错误陈述）。
解 A：取 \(a_n=(-1)^n\)，奇、偶子列分别收敛于 \(-1\)、\(1\)，原数列不收敛；还需要两个子列的极限相同。
B：条件只表示 \(a_n\) 不趋于指定的 \(A\)，不能推出数列收敛。例如 \(a_n=(-1)^n\)、\(A=0\) 满足条件，但不收敛。
C：当 \(a_n\ge2\) 时，
\[a_{n+1}-a_n=2a_n-\frac4{a_n+1}\ge\frac83.\]
由归纳法 \(a_n\ge2+\frac83(n-1)\to+\infty\)，不趋于 \(1\)。
D：收敛定义的量词顺序应为 \(\forall\varepsilon>0\)，\(\exists N>0\)。题中顺序实际上要求数列从某项起恒等于 \(A\)；反例为 \(a_n=A+1/n\)。
3.（10 分）
函数 \(f(x)=\arcsin(\sin x)+\arccos(\cos x)\) 在 \([0,\pi]\) 上的表达式为：
- A. \(f(x)=\pi\)
- B. \(f(x)=2\pi\)
- C. \(f(x)=\begin{cases}2x,&0\le x\le\frac\pi2,\\\pi-x,&\frac\pi2<x\le\pi.\end{cases}\)
- D. \(f(x)=\begin{cases}2x,&0\le x\le\frac\pi2,\\\pi,&\frac\pi2<x\le\pi.\end{cases}\)
答案 D。
解 在 \([0,\pi]\) 上，\(\arccos(\cos x)=x\)；而
\[\arcsin(\sin x)=\begin{cases}x,&0\le x\le\pi/2,\\\pi-x,&\pi/2<x\le\pi.\end{cases}\]
相加即得 D。关键是反三角函数的主值范围。
4.（10 分）
下列结论中，正确的个数有 ______ 个。
① \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin(x\sin\frac1x)}{x\sin\frac1x}=1\)。
② 若 \(0<a_n<1\)，则 \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}[1-(a_n)^n]=1\)。
③ \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{1+\frac1{\sqrt2}+\cdots+\frac1{\sqrt n}}=1\)。
④ \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(n!)^{1/n^2}=1\)。
- A. \(4\)
- B. \(3\)
- C. \(2\)
- D. \(1\)
答案 B（3 个：①③④）。
解 ①正确。令 \(u=x\sin(1/x)\)，由 \(|u|\le|x|\) 可知 \(u\to0\)。沿原表达式的定义域（排除 \(x=0\) 及 \(\sin(1/x)=0\) 的点），有
\[\frac{\sin(x\sin(1/x))}{x\sin(1/x)}=\frac{\sin u}{u}\to1.\]
②错误。取 \(a_n=2^{-1/n}\)，则 \(0<a_n<1\)，但 \(1-a_n^n=1/2\)。
③正确。记 \(S_n=\sum_{k=1}^n1/\sqrt k\)，则 \(\sqrt n\le S_n\le n\)，故
\[n^{1/(2n)}\le S_n^{1/n}\le n^{1/n}\to1.\]
④正确。由 \(1\le n!\le n^n\)，得 \(1\le(n!)^{1/n^2}\le n^{1/n}\to1\)。
5.（10 分）
下列关于极限计算正确的是：
- A. \(\displaystyle\lim_{x\to0}(\sqrt{\cos2x})^{1/x^2}=e^{-1}\)。
- B. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{2x+3}{2x+1}\right)^x=e\)。
- C. \(\displaystyle\lim_{x\to0}\left(\frac{3x-1}{x-1}\right)^{1/x}=e^{-2}\)。
- D. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(1+x)^{1/x}=e\)。
答案 ABC。
解 对正底数的幂函数先取对数。
A：\(\frac{\ln(\cos2x)}{2x^2}\to-1\)，故原极限为 \(e^{-1}\)。这里用 \(\ln(1+t)\sim t\)、\(\cos2x-1\sim-2x^2\)。
B：\(x\ln(1+\frac2{2x+1})\to1\)，故原极限为 \(e\)。
C：\(\frac1x\ln(1+\frac{2x}{x-1})\to-2\)，故原极限为 \(e^{-2}\)。
D：\(\frac{\ln(1+x)}x\to0\)，故极限为 \(1\)，不是 \(e\)。
6.（10 分）
求极限
\[ \lim_{x\to+\infty}x\left(\sqrt[5]{x^5+10x^3-7}-\sqrt[3]{x^3-3x+4}\right)=\underline{\qquad}. \]
- A. \(\frac{23}{15}\)
- B. \(3\)
- C. \(\frac{16}{15}\)
- D. \(2\)
答案 B。
解 提出根式中的 \(x\)，原式化为
\[\lim_{x\to+\infty}x^2\left[\left(1+\frac{10}{x^2}-\frac7{x^5}\right)^{1/5}-\left(1-\frac3{x^2}+\frac4{x^3}\right)^{1/3}\right].\]
使用 \((1+t)^a=1+at+o(t)\)：
\[\left(1+\frac{10}{x^2}-\frac7{x^5}\right)^{1/5}=1+\frac2{x^2}+o(x^{-2}),\]
\[\left(1-\frac3{x^2}+\frac4{x^3}\right)^{1/3}=1-\frac1{x^2}+o(x^{-2}).\]
相减再乘 \(x^2\) 得 \(3+o(1)\)，极限为 \(3\)。
7.（10 分）
设 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 均为定义在 \(\mathbb R\) 上的函数，则下列陈述错误的是：
- A. 若 \(f(x)\) 是 \(\mathbb R\) 上的周期函数，则 \(g(f(x))\) 是 \(\mathbb R\) 上的周期函数。
- B. 若 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 是 \(\mathbb R\) 上的周期函数，则 \(f(x)+g(x)\) 也是 \(\mathbb R\) 上的周期函数。
- C. 若 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 是 \(\mathbb R\) 上的奇函数，则 \(f(g(x))\) 是 \(\mathbb R\) 上的偶函数。
- D. 若 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 在 \(\mathbb R\) 上单调递减，则 \(f(x)\cdot g(x)\) 在 \(\mathbb R\) 上单调递增。
答案 BCD（选出错误陈述）。
解 A 正确：若 \(T>0\) 是 \(f\) 的周期，则 \(g(f(x+T))=g(f(x))\)；不必假定存在最小正周期。
B 错误：取 \(f(x)=\sin x\)、\(g(x)=\sin(\pi x)\)。若它们的和有正周期 \(T\)，展开 \(h(x+T)-h(x)\)，利用不同频率的正弦、余弦函数线性无关，可得 \(T=2k\pi\) 且 \(T=2l\)（\(k,l\) 为整数），与 \(\pi\) 无理矛盾。
C 错误：\(f(g(-x))=f(-g(x))=-f(g(x))\)，复合后为奇函数，未必是偶函数；取 \(f(x)=g(x)=x\) 即为反例。
D 错误：取 \(f(x)=-x\)、\(g(x)=1-x\)，两者均严格递减，但乘积 \(x^2-x\) 在 \(\mathbb R\) 上并不单调递增。
8.（10 分）
下列陈述正确的是：
- A. 设函数 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，且其最小值与最大值分别为 \(m\) 和 \(M\)，则 \(f(x)\) 的值域为 \([m,M]\)。
- B. 若函数 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上只有第一类间断点，则 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上有界。
- C. 定义在 \([a,b]\) 上的函数 \(f(x)\)，若其值域为区间 \([m,n]\)（\(m<n\)，\(m,n\in\mathbb R\)），则 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续。
- D. 若函数 \(f(x)\) 在 \((a,b)\) 内连续，且 \(f(a+0)\) 和 \(f(b-0)\) 均存在，则函数 \(f(x)\) 在 \((a,b)\) 内有界。
答案 ABD。
解 A：由闭区间连续函数的最值定理及介值定理，值域恰为 \([m,M]\)。
B：端点处按相应单侧极限有限理解。连续点附近有界；第一类间断点处左右极限有限，也局部有界。由 \([a,b]\) 的紧致性，取有限个这样的邻域即可得到全区间的统一上界。
C：值域是区间不能反推连续。取 \([0,1]\) 上
\[f(x)=\begin{cases}1,&x=0,\\0,&x=1,\\x,&0<x<1.\end{cases}\]
值域为 \([0,1]\)，但在两个端点不连续。
D：这里“极限存在”按有限实数极限理解。在端点附近由有限单侧极限得到有界性，在剩余闭子区间上由连续性得到有界性，合并可知在 \((a,b)\) 内有界。
9.（10 分）
设 \(\alpha(x)=\frac{1-x}{3+x}\)，\(\beta(x)=1-\sqrt[4]x\)，当 \(x\to1\) 时，下列陈述正确的是：
- A. \(\alpha(x)\) 与 \(\beta(x)\) 为同阶非等价无穷小量。
- B. \(\alpha(x)\) 与 \(\beta(x)\) 为等价无穷小量。
- C. \(\alpha(x)\) 是比 \(\beta(x)\) 更低阶的无穷小量。
- D. \(\alpha(x)\) 是比 \(\beta(x)\) 更高阶的无穷小量。
答案 B。
解 利用四次方差分解，
\[\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=\frac{1-x}{(3+x)(1-\sqrt[4]x)}=\frac{(1+\sqrt[4]x)(1+\sqrt x)}{3+x}\to\frac{2\cdot2}4=1.\]
因此 \(\alpha(x)\sim\beta(x)\)（\(x\to1\)）。
10.（10 分）
函数
\[f(x)=|x-1|^{\frac1{x(x-2)}}\]
的第一类间断点的个数为：
- A. \(0\)
- B. \(1\)
- C. \(2\)
- D. \(3\)
答案 C（2 个）。
解 实数范围内定义域为 \(\mathbb R\setminus\{0,1,2\}\)。其中 \(x=1\) 时形式为 \(0^{-1}\)，没有定义。其余点可写为
\[f(x)=\exp\left(\frac{\ln|x-1|}{x(x-2)}\right).\]
只需检查 \(0,1,2\)。
当 \(x\to0\) 时，\(\ln(1-x)\sim-x\)，故
\[\lim_{x\to0}\frac{\ln(1-x)}{x(x-2)}=\frac12,\qquad\lim_{x\to0}f(x)=e^{1/2}.\]
当 \(x\to2\) 时，\(\ln(x-1)=\ln(1+(x-2))\sim x-2\)，故 \(\lim_{x\to2}f(x)=e^{1/2}\)。两点均为可去间断点。
当 \(x\to1\) 时，\(\ln|x-1|\to-\infty\)，\(x(x-2)\to-1\)，所以 \(f(x)\to+\infty\)，为无穷间断点，属于第二类。
按原题将定义域缺口也纳入间断点分类的惯例，第一类间断点为 \(0,2\)，共 \(2\) 个。
第三部分：知识点总结
答案与考点
| 题号 | 答案 | 主要考点 |
|---|---|---|
| 1 | D | 周期性、偶函数导数 |
| 2 | ABCD | 子列、收敛定义与量词、递推数列 |
| 3 | D | 反三角函数主值范围 |
| 4 | B | 定义域上的极限、夹逼定理、数列幂 |
| 5 | ABC | 幂指函数极限、取对数 |
| 6 | B | 根式差、展开余项 |
| 7 | BCD | 周期函数之和、复合奇偶性、乘积单调性 |
| 8 | ABD | 连续性、值域、有界性、第一类间断点 |
| 9 | B | 等价无穷小、四次方差 |
| 10 | C | 定义域、可去与无穷间断点 |
复习要点
- 先确认题目要求选“正确”还是“错误”，再逐项判断。
- 奇、偶子列都收敛且极限相同，才能推出原数列收敛；量词顺序决定命题强弱。
- 幂指型极限先取对数；根式相减应将展开精度保留到外部放大因子所需的阶数。
- 极限由定义域中的点趋近决定；函数在某点无定义与该点极限不存在是不同结论。
- 反例必须满足全部前提，尤其是值域为整个区间这一条件。
- 间断点先查定义域，再查左右极限是否有限、相等，最后判断是否与函数值相同。
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