2026–2027 学年秋冬《微积分》小测真题归档

十道小测真题归档，附详细解析与答案索引。

这是2026-2027学年秋冬学期微积分（甲）课程第一次小测的题目整理归档

以下解析与答案为整理推导。

第一部分：题目

第 1 题：乘积函数在零点的导数（10 分）

设

\[ f(x)=(e^x-1)(e^x-2)\cdots(e^x-2026), \]

则 \(f'(0)=\)（　）。

• A. \(2026!\)
• B. \(2025!\)
• C. \(-2026!\)
• D. \(-2025!\)

第 2 题：数列的有界性与收敛性（10 分）

下列陈述正确的是（　）。

• A. 对数列 \(\{a_n\}\)，若数列 \(\{a_n^2-a_n\}\) 有界，则数列 \(\{a_n\}\) 必有界。
• B. 实数列 \(\{a_n\}\) 收敛，当且仅当对任意 \(m\in\mathbb N_+\)，有 \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(a_{n+m}-a_n)=0\)。
• C. 设数列 \(\{a_n\}\) 满足 \(a_1=2\)，\(\displaystyle a_{n+1}=3a_n-\frac6{a_n+2}\)（\(n\ge1\)），则 \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}a_n=1\)。
• D. 对实数列 \(\{a_n\}\)，若 \(\{a_n^3\}\) 收敛，则 \(\{a_n\}\) 必收敛。

第 3 题：等价无穷小的阶与系数（10 分）

当 \(x\to1\) 时，\(\alpha(x)=1-\sin\frac\pi2x\) 与 \(\beta(x)=A(x-1)^n\) 为等价无穷小量，则（　）。

• A. \(A=\pi/2\)，\(n=1\)
• B. \(A=\pi^2/2\)，\(n=1\)
• C. \(A=\pi^2/4\)，\(n=2\)
• D. \(A=\pi^2/8\)，\(n=2\)

第 4 题：幂函数的第一类间断点（10 分）

函数

\[ f(x)=|x-1|^{\frac1{x(x-2)}} \]

的第一类间断点的个数为（　）。

• A. \(3\)
• B. \(1\)
• C. \(0\)
• D. \(2\)

第 5 题：绝对值复合函数在零点的可导性（10 分）

下列函数中，在 \(x=0\) 处不可导的是（　）。

• A. \(f(x)=(1-x)\sin|x|\)
• B. \(f(x)=\cos|x|\)
• C. \(f(x)=x\cos|x|\)
• D. \(f(x)=|x|\sin x\)

第 6 题：幂指型极限辨析（10 分）

下述关于极限计算错误的是（　）。

• A. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x+5}{x+3}\right)^x=e^2\)
• B. \(\displaystyle\lim_{x\to0}\left(\frac{2x+1}{x+1}\right)^{1/x}=e^3\)
• C. \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(1-2x)^{1/x}=e^2\)
• D. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(1+x)^{1/x}=e\)

第 7 题：发散数列经过变换后的性质（10 分）

已知数列 \(\{a_n\}\)（\(a_n\in\mathbb R\)，\(a_n\ne0\)），若 \(\{a_n\}\) 发散，则（　）。

• A. 数列 \(\displaystyle\left\{a_n-\frac1{a_n}\right\}\) 发散。
• B. 数列 \(\{e^{a_n}-e^{-a_n}\}\) 发散。
• C. 数列 \(\{e^{a_n}+e^{-a_n}\}\) 发散。
• D. 数列 \(\displaystyle\left\{a_n+\frac2{a_n}\right\}\) 发散。

第 8 题：反三角函数的主值与符号（10 分）

当 \(x<0\) 时，\(\tan(\arccos x)=\)（　）。

• A. \(\displaystyle\frac{\sqrt{1-x^2}}x\)
• B. \(\displaystyle-\frac{\sqrt{1-x^2}}x\)
• C. \(-\sqrt{1-x^2}\)
• D. \(\sqrt{1-x^2}\)

第 9 题：立方根之差的极限（10 分）

\[ \lim_{x\to+\infty}x\left(\sqrt[3]{x^3+7x}-\sqrt[3]{x^3+x}\right)=\text{（　）}. \]

• A. \(2\)
• B. \(6\)
• C. \(1\)
• D. \(3\)

第 10 题：反函数、连续性与数列最小项（10 分）

下列陈述错误的是（　）。

• A. 若 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上存在反函数，则 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上严格单调。
• B. 若 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处连续，则 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 的某邻域内连续。
• C. 不存在定义在 \(\mathbb R\) 上只有一点连续的函数。
• D. 对实数列 \(\{a_n\}\)，若 \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}a_n=+\infty\)，则数列 \(\{a_n\}\) 一定存在最小项。

第二部分：详细解析

解析 1：只保留不含零因子的项

答案：D。

令 \(g(x)=\prod_{k=2}^{2026}(e^x-k)\)，则 \(f(x)=(e^x-1)g(x)\)，所以

\[ f'(0)=e^0g(0)+(e^0-1)g'(0)=g(0). \]

因此

\[ f'(0)=\prod_{k=2}^{2026}(1-k) =(-1)^{2025}\cdot2025!=-2025!. \]

第二项因含有零因子而消失；负号来自 \(2025\) 个负因子。

解析 2：固定步长差不是柯西准则

答案：AD。

A 正确。 设 \(|a_n^2-a_n|\le M\)，则

\[ \left(a_n-\frac12\right)^2 =a_n^2-a_n+\frac14\le M+\frac14. \]

所以 \(|a_n|\le\frac12+\sqrt{M+\frac14}\)，数列有界。

B 错误。 收敛数列当然满足固定步长之差趋于零，但反过来不成立。取 \(a_n=\sqrt n\)，对每个固定正整数 \(m\)，

\[ a_{n+m}-a_n =\frac{m}{\sqrt{n+m}+\sqrt n}\longrightarrow0, \]

而 \(a_n\to+\infty\)，并不收敛于有限实数。柯西准则需要对所有足够靠后的两项作统一控制，不能只控制每个固定间隔。

C 错误。 当 \(t\ge2\) 时，

\[ \left(3t-\frac6{t+2}\right)-t =\frac{2(t-1)(t+3)}{t+2}>0. \]

从 \(a_1=2\) 出发，归纳可知 \(a_n\ge2\) 且严格递增，因此不可能趋于 \(1\)。进一步，若有有限极限 \(L\ge2\)，则

\[ L=3L-\frac6{L+2} \quad\Longrightarrow\quad(L-1)(L+3)=0, \]

与 \(L\ge2\) 矛盾。故它实际上趋于 \(+\infty\)。

D 正确。 若 \(a_n^3\to L\)，由实立方根函数的连续性，

\[ a_n=\sqrt[3]{a_n^3}\longrightarrow\sqrt[3]L. \]

解析 3：移到零点后使用三角恒等式

答案：D。

令 \(t=x-1\to0\)，则

\[ \begin{aligned} 1-\sin\frac{\pi x}{2} &=1-\cos\frac{\pi t}{2}\\ &=2\sin^2\frac{\pi t}{4} \sim2\left(\frac{\pi t}{4}\right)^2 =\frac{\pi^2}{8}(x-1)^2. \end{aligned} \]

故 \(A=\pi^2/8\)，\(n=2\)。

解析 4：先取对数，再逐个检查可疑点

答案：D，共 2 个。

在自然定义域 \(\mathbb R\setminus\{0,1,2\}\) 内，

\[ \ln f(x)=\frac{\ln|x-1|}{x(x-2)}. \]

除 \(0,1,2\) 外，函数连续，只需检查这三点。

在 \(x=0\) 附近： \(\ln|x-1|=\ln(1-x)\sim-x\)，所以

\[ \lim_{x\to0}\ln f(x)=\frac12, \qquad\lim_{x\to0}f(x)=e^{1/2}. \]

在 \(x=2\) 附近： 令 \(t=x-2\to0\)，则

\[ \frac{\ln|x-1|}{x(x-2)} =\frac{\ln(1+t)}{(2+t)t}\longrightarrow\frac12. \]

因此 \(\lim_{x\to2}f(x)=e^{1/2}\)。\(0,2\) 两点的左右极限都有限且相等，可补值为连续，属于可去间断点，也属于第一类间断点。

在 \(x=1\) 附近： \(\ln|x-1|\to-\infty\)，而 \(x(x-2)\to-1\)，所以 \(\ln f(x)\to+\infty\)，即 \(f(x)\to+\infty\)，不属于第一类间断点。

解析 5：检查左右差商

答案：A。

A 中 \(f(0)=0\)。当 \(h\to0^+\) 时，

\[ \frac{(1-h)\sin|h|}{h}\longrightarrow1; \]

当 \(h\to0^-\) 时，\(\sin|h|=\sin(-h)\)，故差商趋于 \(-1\)。左右导数不同，A 不可导。

B 中 \(\cos|x|=\cos x\)，在零点可导，导数为 \(0\)。

C 中 \(x\cos|x|=x\cos x\)，在零点可导，导数为 \(1\)。

D 中 \(f(0)=0\)，且

\[ \left|\frac{|h|\sin h}{h}\right|=|\sin h|\longrightarrow0, \]

所以在零点可导，导数为 \(0\)。含绝对值并不必然不可导。

解析 6：分别计算对数的极限

答案：BCD（本题选错误项）。

A 的对数为

\[ x\ln\left(1+\frac2{x+3}\right) =\frac{2x}{x+3}\cdot \frac{\ln(1+\frac2{x+3})}{\frac2{x+3}} \longrightarrow2. \]

所以 A 的极限确为 \(e^2\)。

B 的对数为

\[ \frac{\ln(1+2x)-\ln(1+x)}x\longrightarrow2-1=1, \]

实际极限为 \(e\)，不是 \(e^3\)。

C 中令 \(t=-x\to+\infty\)，对数为

\[ \frac{\ln(1-2x)}x=-\frac{\ln(1+2t)}t\longrightarrow0, \]

实际极限为 \(1\)，不是 \(e^2\)。

D 的对数 \(\ln(1+x)/x\to0\)，实际极限同样为 \(1\)，不是 \(e\)。不要将 \(x\to+\infty\) 的情形误套为 \(x\to0\) 的重要极限。

解析 7：用反例判断能否反推原数列收敛

答案：B。

A 不成立。 令 \(a_n=(-1)^n\)，原数列发散且各项非零，但

\[ a_n-\frac1{a_n}=0 \]

恒成立，变换后的数列收敛。

B 成立。 记 \(b_n=e^{a_n}-e^{-a_n}\)。若 \(b_n\to L\)，令 \(y_n=e^{a_n}>0\)，则

\[ y_n-\frac1{y_n}=b_n, \qquad y_n=\frac{b_n+\sqrt{b_n^2+4}}2. \]

所以

\[ a_n=\ln\frac{b_n+\sqrt{b_n^2+4}}2 \longrightarrow \ln\frac{L+\sqrt{L^2+4}}2. \]

这与 \(\{a_n\}\) 发散矛盾，因此 \(\{b_n\}\) 必发散。

C 不成立。 仍取 \(a_n=(-1)^n\)，则 \(e^{a_n}+e^{-a_n}=e+e^{-1}\) 为常数。

D 不成立。 令 \(a_n\) 在 \(1,2\) 之间交替取值，原数列发散，而

\[ a_n+\frac2{a_n}=3 \]

恒成立。

解析 8：主值范围决定正负号

答案：A。

实数范围内 \(\arccos x\) 要求 \(x\in[-1,1]\)，结合 \(x<0\)，实际讨论 \(x\in[-1,0)\)。令 \(\theta=\arccos x\)，则

\[ \theta\in(\pi/2,\pi],\quad \cos\theta=x,\quad \sin\theta=\sqrt{1-x^2}. \]

故

\[ \tan(\arccos x)=\frac{\sin\theta}{\cos\theta} =\frac{\sqrt{1-x^2}}x. \]

分子非负、分母为负，结果非正；负号已由分母体现。

解析 9：用立方差公式消去相减

答案：A。

令 \(u=\sqrt[3]{x^3+7x}\)，\(v=\sqrt[3]{x^3+x}\)，则

\[ u-v=\frac{u^3-v^3}{u^2+uv+v^2} =\frac{6x}{u^2+uv+v^2}. \]

由于 \(u/x\to1\)，\(v/x\to1\)，有

\[ x(u-v)=\frac{6x^2}{u^2+uv+v^2} =\frac6{(u/x)^2+(u/x)(v/x)+(v/x)^2} \longrightarrow2. \]

解析 10：区分一点性质与区间性质

答案：ABC（本题选错误项）。

A 错误。 存在反函数只要求单射，未假设连续时不能推出严格单调。例如在 \([0,1]\) 上定义

\[ f(x)=\begin{cases} 1,&x=0,\\ 0,&x=1,\\ x,&0<x<1. \end{cases} \]

这是将两个端点对调的双射，存在反函数；但它既不严格递增，也不严格递减。

B 错误，C 也错误。 同一个例子可以同时说明两点：

\[ g(x)=\begin{cases} x,&x\in\mathbb Q,\\ -x,&x\notin\mathbb Q. \end{cases} \]

因为 \(|g(x)|=|x|\)，函数在 \(0\) 处连续。在任意 \(x_0\ne0\) 处，分别沿有理数与无理数趋近，函数值趋于 \(x_0\) 与 \(-x_0\)，两者不等，所以不连续。

因此这个定义在 \(\mathbb R\) 上的函数恰好只在一点连续，且在该点的任何邻域内都不是处处连续。

D 正确。 由 \(a_n\to+\infty\)，存在 \(N\ge2\)，使 \(n\ge N\) 时 \(a_n>a_1\)。取有限集合 \(\{a_1,\ldots,a_{N-1}\}\) 的最小值，它不超过 \(a_1\)，因而也不大于后面所有项，必为整个数列中的最小项。

第三部分：答案与知识点总结

题号	答案	主要考点
1	D	乘积求导与零因子
2	AD	有界性、固定步长差与收敛
3	D	等价无穷小的阶与系数
4	D	取对数、可去间断点与无穷间断点
5	A	左右导数、绝对值
6	BCD	幂指型极限与趋近方向
7	B	变换的可逆性与反例
8	A	反三角函数主值
9	A	立方差有理化
10	ABC	单射、连续性与最小项

• 判断题先确认要求选“正确”还是“错误”，再逐项验证。
• 数列收敛与变换后收敛之间，需检查变换是否丢失符号或分支信息。
• 幂指型先确认正底数，再取对数；趋近方向不可替换。
• 一点连续不意味着附近处处连续；存在反函数也不能省略额外条件就推出单调性。

小测成绩由于AI作弊行为的存在，差别很大。根据老师所说，上一个班平均分略高于60，而我所在的班则有70，且有大量满分，无论如何，不管什么考试作弊，都是不可以接受的行为。