2024-2025 学年《微积分（甲）Ⅰ》期中试卷归档
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本卷共 13 题。考试时间和各题分值在现有转录中未标注。本档依据现有转录整理题目，并补充完整解析；不另行推定原卷未标明的信息。
根据归档题目整理的练习版，非原卷扫描件；仅含题目，并留有作答空间。
第一部分：题目
1.
计算极限 \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e-e^{\cos x}-x^3\sin\frac{1}{x}}{\left(\sqrt[3]{1+x^2}-1\right)\cos x}\).
2.
用数列极限定义证明 \(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a^n}{n!}=0\)，其中 \(a\) 是常数.
3.
计算极限 \(\lim\limits_{x\to 0}\left(2e^{\frac{x}{1+x}}-1\right)^{\frac{x^2+1}{x}}\).
4.
计算极限 \(\lim\limits_{n\to\infty}\left(\dfrac{1}{n^2+2n+1}+\dfrac{2}{n^2+2n+2}+\dots+\dfrac{n}{n^2+2n+n}\right)\).
5.
指出函数 \(f(x)=\begin{cases} e^{\frac{1}{x-1}}, & x>0, \\ \ln(1+x), & -1<x\le 0 \end{cases}\) 的间断点，并判断其类型.
6.
设函数 \(y=x^2e^{\sin^2\frac{1}{x}}\)，求 \(\dfrac{dy}{dx}\).
7.
设函数 \(y=y(x)\) 由方程 \(\ln(x^2+y)=x^3y+\sin x\) 确定，求 \(dy\big|_{x=0}\).
8.
求极坐标系下曲线 \(r=e^{\theta}\) 在点 \((r,\theta)=\left(e^{\frac{\pi}{2}},\dfrac{\pi}{2}\right)\) 处在直角坐标系下的切线方程.
9.
设函数 \(y=e^x\sin x\)，证明 \(y^{(n)}=2^{\frac{n}{2}}e^x\sin\left(x+\dfrac{n\pi}{4}\right)\).
10.
试确定常数 \(a,b\) 的值，使函数 \(f(x)=\begin{cases} 1+\ln(1-2x), & x\le 0, \\ a+be^x, & x>0 \end{cases}\) 在 \(x=0\) 处可导，并求此时导函数 \(f'(x)\).
11.
设函数 \(f(x)=x^2D(x)\)，其中 \(D(x)=\begin{cases} 1, & x\text{ 是有理数}, \\ 0, & x\text{ 是无理数}. \end{cases}\) 试讨论函数 \(f(x)\)，\(x\in(-\infty,+\infty)\) 的连续性和可导性；若可导，求其导数.
12.
写出无穷大量 \(\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=+\infty\) 的定义，并举例说明无界量不一定是无穷大量.
13.
已知函数 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上连续，在 \((0,1)\) 内可导，且 \(f(0)=0\)，\(f(1)=1\).
证明：(1) 存在 \(c\in(0,1)\)，使得 \(f(c)=1-c\)；
- 存在两个不同的数 \(\xi,\eta\in(0,1)\)，使得 \(f'(\xi)f'(\eta)=1\).
第二部分：详细解析
解析 1：主项与有界振荡的比较
题目
计算极限 \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e-e^{\cos x}-x^3\sin\frac{1}{x}}{\left(\sqrt[3]{1+x^2}-1\right)\cos x}\).
答案 \(3e/2\)。
详细解析
先处理非振荡部分：
\[e-e^{\cos x}=-e\left(e^{\cos x-1}-1\right)\sim-e(\cos x-1)\sim\frac e2x^2.\]
而 \(|x^3\sin(1/x)|\le|x|^3=o(x^2)\)，因此整个分子的主项仍为 \(ex^2/2\)。分母满足
\[\left((1+x^2)^{1/3}-1\right)\cos x\sim\frac{x^2}{3}.\]
所以原极限为 \((e/2)/(1/3)=3e/2\)。
知识点与易错点 忽略某项必须相对于所需主项比较阶数；振荡项只需有界，不需要自身收敛。
解析 2：阶乘压倒指数的定义证明
题目
用数列极限定义证明 \(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a^n}{n!}=0\)，其中 \(a\) 是常数.
答案 对任意实常数 \(a\)，\(a^n/n!\to0\)。
详细解析
若 \(a=0\)，结论直接成立。设 \(a\ne0\)，令 \(b_n=|a|^n/n!\)。先固定正整数 \(m\ge2|a|\)，则对所有 \(n\ge m\)，
\[\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{|a|}{n+1}\le\frac12.\]
故 \(b_n\le b_m2^{-(n-m)}\)（\(n\ge m\)）。给定 \(\varepsilon>0\)，令
\[L=\max\left\{0,\left\lceil\log_2\frac{b_m}{\varepsilon}\right\rceil\right\},\qquad N=m+L.\]
当 \(n>N\) 时，\(n-m>L\)，从而 \(b_n\le b_m2^{-(n-m)}<\varepsilon\)。所以按 \(\varepsilon\)–\(N\) 定义有 \(|a^n/n!|\to0\)，即原数列趋于零。
知识点与易错点 先固定使尾项比值统一小于 1 的位置，再由 ε 选择更后的起点；两次选点作用不同。
解析 3：指数复合的一的无穷次幂
题目
计算极限 \(\lim\limits_{x\to 0}\left(2e^{\frac{x}{1+x}}-1\right)^{\frac{x^2+1}{x}}\).
答案 \(e^2\)。
详细解析
令 \(u=x/(1+x)\)，\(v=2(e^u-1)\)，则 \(u\sim x\)、\(v\sim2x\)，且底数 \(1+v\) 在零点附近为正。原式的对数为
\[\frac{x^2+1}{x}\ln(1+v)=(x^2+1)\frac{\ln(1+v)}v\frac vx\to1\cdot1\cdot2=2.\]
因此原式趋于 \(e^2\)。式中 \(x^2+1\) 不需要展开到更高阶，它只贡献极限 \(1\)。
知识点与易错点 幂指型取对数后拆成有限个极限；明确每个复合层的主项。
解析 4：二次主分母的变项求和
题目
计算极限 \(\lim\limits_{n\to\infty}\left(\dfrac{1}{n^2+2n+1}+\dfrac{2}{n^2+2n+2}+\dots+\dfrac{n}{n^2+2n+n}\right)\).
答案 \(1/2\)。
详细解析
当 \(1\le k\le n\)，有 \(n^2+2n+1\le n^2+2n+k\le n^2+3n\)。因此
\[\frac{n(n+1)}{2(n^2+3n)}\le\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2+2n+k}\le\frac{n(n+1)}{2(n^2+2n+1)}.\]
两端分别为 \((n+1)/(2(n+3))\)、\(n/(2(n+1))\)，均趋于 \(1/2\)。由夹逼定理得到结论。
知识点与易错点 分母不同但能统一夹住时，先求分子的和；注意不等号在取倒数后反向。
解析 5：分界点与指数奇点的间断分类
题目
指出函数 \(f(x)=\begin{cases} e^{\frac{1}{x-1}}, & x>0, \\ \ln(1+x), & -1<x\le 0 \end{cases}\) 的间断点，并判断其类型.
答案 \(x=0\) 为跳跃间断点；\(x=1\) 为第二类间断点。
详细解析
自然定义域是 \((-1,+\infty)\setminus\{1\}\)。两支内部均连续，只需检查分界点 \(0\) 和指数分母为零的 \(1\)。
在 \(0\) 处，\(f(0)=0\)，且
\[f(0-)=\lim_{x\to0^-}\ln(1+x)=0,\qquad f(0+)=e^{-1}.\]
两侧极限都有限但不相等，故为跳跃间断点，属于第一类。
在 \(1\) 处，
\[\lim_{x\to1^-}e^{1/(x-1)}=0,\qquad\lim_{x\to1^+}e^{1/(x-1)}=+\infty.\]
右侧极限无穷，故属于第二类。端点 \(-1\) 不在自然定义域及题给区间内部，不计作本题间断点。
知识点与易错点 分段点与表达式本身的奇点都需检查；把左右方向代入指数，避免颠倒零与无穷。
解析 6：振荡复合函数的链式求导
题目
设函数 \(y=x^2e^{\sin^2\frac{1}{x}}\)，求 \(\dfrac{dy}{dx}\).
答案 \(\displaystyle y'=e^{\sin^2(1/x)}\left[2x-\sin(2/x)\right]\)（\(x\ne0\)）。
详细解析
在原定义域 \(x\ne0\) 内，使用乘积法则与链式法则：
\[y'=2xe^{\sin^2(1/x)}+x^2e^{\sin^2(1/x)}\cdot2\sin(1/x)\cos(1/x)\left(-\frac1{x^2}\right).\]
约去第二项中的 \(x^2\)，再用倍角公式，得到
\[y'=e^{\sin^2(1/x)}\left[2x-2\sin(1/x)\cos(1/x)\right]=e^{\sin^2(1/x)}[2x-\sin(2/x)].\]
原函数未在 \(0\) 处定义，因此本题不直接给 \(y'(0)\) 赋值。
知识点与易错点 链式求导要包含最内层 1/x 的导数；定义域限制在化简后仍须保留。
解析 7：隐函数基点处的微分
题目
设函数 \(y=y(x)\) 由方程 \(\ln(x^2+y)=x^3y+\sin x\) 确定，求 \(dy\big|_{x=0}\).
答案 \(dy|_{x=0}=dx\)。
详细解析
先在原方程令 \(x=0\)，得 \(\ln y=0\)，故 \(y(0)=1\)。两边对 \(x\) 求导，
\[\frac{2x+y'}{x^2+y}=3x^2y+x^3y'+\cos x.\]
代入 \((x,y)=(0,1)\)，左边为 \(y'(0)\)，右边为 \(1\)，故 \(y'(0)=1\)。因此 \(dy|_{x=0}=y'(0)\,dx=dx\)。
在该点，关于 \(y\) 的偏导 \(1/(x^2+y)-x^3=1\ne0\)，也保证局部可把方程解作可导的隐函数。
知识点与易错点 求指定点的隐函数微分时先求 y 的点值；dy 与 y′ 只差一个 dx，但不可漏写。
解析 8：对数螺旋线的切线
题目
求极坐标系下曲线 \(r=e^{\theta}\) 在点 \((r,\theta)=\left(e^{\frac{\pi}{2}},\dfrac{\pi}{2}\right)\) 处在直角坐标系下的切线方程.
答案 \(x+y=e^{\pi/2}\)。
详细解析
参数化为 \(x=e^\theta\cos\theta\)、\(y=e^\theta\sin\theta\)，则
\[\frac{dx}{d\theta}=e^\theta(\cos\theta-\sin\theta),\qquad\frac{dy}{d\theta}=e^\theta(\sin\theta+\cos\theta).\]
在 \(\theta=\pi/2\)，切点是 \((0,e^{\pi/2})\)，\(dx/d\theta=-e^{\pi/2}\ne0\)，所以斜率为 \(-1\)。点斜式给出
\[y-e^{\pi/2}=-x,\quad\text{即 }x+y=e^{\pi/2}.\]
知识点与易错点 极坐标曲线先转参数方程；检查 dx/dθ 是否为零再写斜率。
解析 9：指数三角函数的高阶导数
题目
设函数 \(y=e^x\sin x\)，证明 \(y^{(n)}=2^{\frac{n}{2}}e^x\sin\left(x+\dfrac{n\pi}{4}\right)\).
答案 \(\displaystyle y^{(n)}=2^{n/2}e^x\sin(x+n\pi/4)\)。
详细解析
用数学归纳法。\(n=0\) 时就是原函数；\(n=1\) 时
\[y'=e^x(\sin x+\cos x)=\sqrt2e^x\sin(x+\pi/4),\]
符合公式。假设公式对某个 \(n\) 成立，令 \(u=x+n\pi/4\)，则
\[y^{(n+1)}=2^{n/2}e^x(\sin u+\cos u)=2^{(n+1)/2}e^x\sin(u+\pi/4),\]
也就是 \(2^{(n+1)/2}e^x\sin(x+(n+1)\pi/4)\)，完成归纳。每求一次导数，振幅乘 \(\sqrt2\)，相位增加 \(\pi/4\)。
知识点与易错点 归纳证明写出基例与归纳步；sin u+cos u 的相位合并是关键。
解析 10：分段可导确定参数与导函数
题目
试确定常数 \(a,b\) 的值，使函数 \(f(x)=\begin{cases} 1+\ln(1-2x), & x\le 0, \\ a+be^x, & x>0 \end{cases}\) 在 \(x=0\) 处可导，并求此时导函数 \(f'(x)\).
答案 \(a=3,b=-2\)；\(\displaystyle f'(x)=\begin{cases}-2/(1-2x),&x\le0,\\-2e^x,&x>0.\end{cases}\)
详细解析
在 \(0\) 处连续必须有
\[a+b=\lim_{x\to0^+}(a+be^x)=f(0)=1.\]
左差商的极限为
\[\lim_{x\to0^-}\frac{\ln(1-2x)}x=-2,\]
右差商在连续条件下为 \(b(e^x-1)/x\to b\)。所以可导要求 \(b=-2\)，进而 \(a=3\)。
各支内部按常规求导，且零点导数为 \(-2\)，得到答案中的完整分段式。左支在所有 \(x\le0\) 都满足对数真数 \(1-2x>0\)。
知识点与易错点 先由连续性建立线性关系，再用差商确定斜率；最后写出零点处导数。
解析 11：狄利克雷函数乘幂的连续与可导性
题目
设函数 \(f(x)=x^2D(x)\)，其中 \(D(x)=\begin{cases} 1, & x\text{ 是有理数}, \\ 0, & x\text{ 是无理数}. \end{cases}\) 试讨论函数 \(f(x)\)，\(x\in(-\infty,+\infty)\) 的连续性和可导性；若可导，求其导数.
答案 仅在 \(x=0\) 连续且可导，\(f'(0)=0\)；其他点不连续且不可导。
详细解析
由 \(0\le D(x)\le1\)，有 \(|x^2D(x)|\le x^2\)，所以在 \(0\) 处函数极限为 \(0=f(0)\)，故连续。再由
\[\frac{f(h)-f(0)}h=hD(h),\qquad|hD(h)|\le|h|\to0,\]
可得 \(f'(0)=0\)。
对于 \(x_0\ne0\)，取趋于 \(x_0\) 的有理数列 \(r_n\) 与无理数列 \(s_n\)，则 \(f(r_n)=r_n^2\to x_0^2\)，而 \(f(s_n)=0\to0\)。两个极限不同，故函数在 \(x_0\) 不连续。可导必连续，所以这些点也都不可导。
知识点与易错点 稠密的两类点用来否定连续性；零点处由幂因子压住振荡，导数须用定义。
解析 12：正无穷大量定义与无界反例
题目
写出无穷大量 \(\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=+\infty\) 的定义，并举例说明无界量不一定是无穷大量.
答案 定义为“任意正阈值最终都被超过”；无界性不足以推出无穷大。
详细解析
\(\lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty\) 的定义为
\[\forall M>0,\quad\exists\delta>0,\quad0<x<\delta\Longrightarrow f(x)>M,\]
其中 \(x\) 限于函数定义域，\(0\) 是其右侧聚点。
反例取 \(g(x)=\sin(1/x)/x\)（\(x>0\)）。沿 \(x_n=1/(\pi/2+2n\pi)\)，有 \(g(x_n)=\pi/2+2n\pi\to+\infty\)，所以它在任何零点右邻域内无界。但是沿 \(z_n=1/(n\pi)\)，有 \(g(z_n)=0\)，不可能最终超过任意正数；沿另一组点还可趋于负无穷。因此它既不趋于 \(+\infty\)，也不满足绝对值趋于无穷。
知识点与易错点 无界性是能够找到任意大的值；无穷大要求充分靠近时所有函数值都达到阈值。
解析 13：零点定理与两段中值定理
题目
已知函数 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上连续，在 \((0,1)\) 内可导，且 \(f(0)=0\)，\(f(1)=1\).
证明：(1) 存在 \(c\in(0,1)\)，使得 \(f(c)=1-c\)；
- 存在两个不同的数 \(\xi,\eta\in(0,1)\)，使得 \(f'(\xi)f'(\eta)=1\).
答案 存在 \(c\in(0,1)\) 满足 \(f(c)=1-c\)，并存在不同内点使导数乘积为 1。
详细解析
（1）构造 \(F(x)=f(x)+x-1\)，则 \(F\) 在 \([0,1]\) 连续，\(F(0)=-1<0\)、\(F(1)=1>0\)。由零点定理存在 \(c\in(0,1)\)，使 \(F(c)=0\)，即 \(f(c)=1-c\)。
（2）分别对 \(f\) 在 \([0,c]\)、\([c,1]\) 应用拉格朗日中值定理，得到
\[f'(\xi)=\frac{f(c)-f(0)}c=\frac{1-c}{c},\qquad f'(\eta)=\frac{f(1)-f(c)}{1-c}=\frac c{1-c}.\]
其中 \(\xi\in(0,c)\)、\(\eta\in(c,1)\)，故两点不同，且相乘恰为 \(1\)。
知识点与易错点 先找使两段割线斜率互为倒数的分点，再分别应用中值定理。
第三部分：知识点总结
答案与考点索引
| 题号 | 答案或结论 | 主要考点 |
|---|---|---|
| 1 | \(3e/2\)。 | 主项与有界振荡的比较 |
| 2 | 对任意实常数 \(a\)，\(a^n/n!\to0\)。 | 阶乘压倒指数的定义证明 |
| 3 | \(e^2\)。 | 指数复合的一的无穷次幂 |
| 4 | \(1/2\)。 | 二次主分母的变项求和 |
| 5 | \(x=0\) 为跳跃间断点；\(x=1\) 为第二类间断点。 | 分界点与指数奇点的间断分类 |
| 6 | \(\displaystyle y'=e^{\sin^2(1/x)}\left[2x-\sin(2/x)\right]\)（\(x\ne0\)）。 | 振荡复合函数的链式求导 |
| 7 | \(dy\|_{x=0}=dx\)。 | 隐函数基点处的微分 |
| 8 | \(x+y=e^{\pi/2}\)。 | 对数螺旋线的切线 |
| 9 | \(\displaystyle y^{(n)}=2^{n/2}e^x\sin(x+n\pi/4)\)。 | 指数三角函数的高阶导数 |
| 10 | \(a=3,b=-2\)；\(\displaystyle f'(x)=\begin{cases}-2/(1-2x),&x\le0,\\-2e^x,&x>0.\end{cases}\) | 分段可导确定参数与导函数 |
| 11 | 仅在 \(x=0\) 连续且可导，\(f'(0)=0\)；其他点不连续且不可导。 | 狄利克雷函数乘幂的连续与可导性 |
| 12 | 定义为“任意正阈值最终都被超过”；无界性不足以推出无穷大。 | 正无穷大量定义与无界反例 |
| 13 | 存在 \(c\in(0,1)\) 满足 \(f(c)=1-c\)，并存在不同内点使导数乘积为 1。 | 零点定理与两段中值定理 |
题型分布与复习重点
- 极限与定义证明（1–4）：注意有界振荡只能按相对主阶忽略；阶乘与指数用统一尾部几何估计，再写 ε–N。
- 函数的连续与可导（5、10–12）：先自然定义域，再检查分界点；可导参数先连续后差商；用稠密性构造反例。
- 微分及高阶导数（6–9）：链式法则不可漏掉内层导数；指定点隐函数先求点值；高阶公式用归纳。
- 中值定理（13）：先用零点定理找相交点，再在两段区间构造互为倒数的割线斜率。
通用解题检查清单
- 定义证明：写出任意误差、明确选择尾部起点或邻域半径，并验证它对全部相关变量统一有效。
- 极限计算：先检查定义域与趋近方向；等价替换用于乘除，相减有抵消时先变形或保留足够阶数。
- 连续与可导：先检查函数值及左右极限，再比较左右差商；表达式化简不会自动恢复原来无定义的点。
- 高阶或参数导数：区分求导对象；每次参数二阶求导都要除以对应自变量的一阶参数导数。
- 存在性证明：先证明极限或根存在，再计算其候选值；应用介值或中值定理前逐项核对连续性、可导性和端值。
常用公式
\[\sin t\sim t,\quad\tan t\sim t,\quad1-\cos t\sim\frac{t^2}{2},\quad\ln(1+t)\sim t,\quad e^t-1\sim t\qquad(t\to0).\]
\[\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt},\qquad\frac{d^2y}{dx^2}=\frac1{dx/dt}\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right),\qquad dy=f'(x)\,dx.\]
若目标含 \(f'+\lambda f\)，可考虑 \((e^{\lambda x}f)'=e^{\lambda x}(f'+\lambda f)\)；若右边为常数，先适当平移函数。使用这些公式时仍需保留相应定义域和分母非零条件。
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