2026–2027 学年《线性代数》小测真题：第九节与第十节
本篇按《线性代数第一次小测参考答案》中的“第九节”“第十节”顺序整理，共四题。下载原 PDF。
第一部分：题目
第九节（一）：含参方程组的解
讨论方程组何时有解，并在有解时求全部解：
\[ \begin{cases} x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=2,\\ -x_1+x_3+3x_4+x_5=a,\\ x_1+2x_2+3x_3+5x_4+3x_5=3,\\ 3x_1+2x_2+x_3-x_4+x_5=b. \end{cases} \]
第九节（二）：四阶三对角行列式
计算行列式
\[D_4=\begin{vmatrix} x-1&x&0&0\\ -x&x^2-x&x^2&0\\ 0&-x^2&x^3-x^2&x^3\\ 0&0&-x^3&x^4-x^3 \end{vmatrix}.\]
第十节（一）：解的分类与通解
讨论方程组有唯一解、无穷多解或无解的条件，并在有解时求解：
\[\begin{cases} x+2y+3z=1,\\ 2x+3y+az=3,\\ 3x+4y+5z=b. \end{cases}\]
第十节（二）：加边法计算行列式
计算 \(n\) 阶行列式
\[D_n=\begin{vmatrix} 1-a_1^2&-a_1a_2&\cdots&-a_1a_n\\ -a_2a_1&1-a_2^2&\cdots&-a_2a_n\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ -a_na_1&-a_na_2&\cdots&1-a_n^2 \end{vmatrix}.\]
第二部分：解析
第九节（一）：含参方程组的解
对增广矩阵依次作 \(R_2\leftarrow R_2+R_1\)，\(R_3\leftarrow R_3-R_1\)，\(R_4\leftarrow R_4-3R_1\)，再作 \(R_3\leftarrow R_3-R_2\)，\(R_4\leftarrow R_4+R_2\)，得
\[ \left(\begin{array}{ccccc|c} 1&1&1&1&1&2\\ 0&1&2&4&2&a+2\\ 0&0&0&0&0&-a-1\\ 0&0&0&0&0&a+b-4 \end{array}\right). \]
故方程组有解当且仅当 \(a=-1,b=5\)。此时作 \(R_1\leftarrow R_1-R_2\)，得
\[x_1=1+x_3+3x_4+x_5,\qquad x_2=1-2x_3-4x_4-2x_5.\]
全部解为
\[ \boxed{\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\\0\end{pmatrix} +c_1\begin{pmatrix}1\\-2\\1\\0\\0\end{pmatrix} +c_2\begin{pmatrix}3\\-4\\0\\1\\0\end{pmatrix} +c_3\begin{pmatrix}1\\-2\\0\\0\\1\end{pmatrix},\quad c_1,c_2,c_3\in\mathbb R.} \]
第九节（二）：四阶三对角行列式
从第 \(2,3,4\) 列分别提取 \(x,x^2,x^3\)，得
\[D_4=x^6\Delta_4,\qquad \Delta_4=\begin{vmatrix} x-1&1&0&0\\-x&x-1&1&0\\0&-x&x-1&1\\0&0&-x&x-1 \end{vmatrix}.\]
记同型的 \(k\) 阶行列式为 \(\Delta_k\)。按第一行展开，有
\[\Delta_k=(x-1)\Delta_{k-1}+x\Delta_{k-2},\qquad\Delta_0=1,\quad\Delta_1=x-1.\]
依次得到
\[\begin{aligned} \Delta_2&=x^2-x+1,\\ \Delta_3&=x^3-x^2+x-1,\\ \Delta_4&=x^4-x^3+x^2-x+1. \end{aligned}\]
因此
\[\boxed{D_4=x^6(x^4-x^3+x^2-x+1).}\]
第十节（一）：解的分类与通解
对增广矩阵作 \(R_2\leftarrow R_2-2R_1\)，\(R_3\leftarrow R_3-3R_1\)，再作 \(R_3\leftarrow R_3-2R_2\)，\(R_2\leftarrow-R_2\)，得
\[\left(\begin{array}{ccc|c} 1&2&3&1\\0&1&6-a&-1\\0&0&8-2a&b-5 \end{array}\right).\]
当 \(a\ne4\) 时，有唯一解：
\[\boxed{\begin{aligned} z&=\frac{b-5}{8-2a},\\ y&=-1-\frac{(6-a)(b-5)}{8-2a},\\ x&=3+\frac{(9-2a)(b-5)}{8-2a}. \end{aligned}}\]
当 \(a=4,b=5\) 时，有无穷多解：
\[\boxed{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3\\-1\\0\end{pmatrix} +c\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix},\quad c\in\mathbb R.}\]
当 \(a=4,b\ne5\) 时，无解。
第十节（二）：加边法计算行列式
在左侧加一列、上方加一行，得
\[D_n=\begin{vmatrix} 1&a_1&a_2&\cdots&a_n\\ 0&1-a_1^2&-a_1a_2&\cdots&-a_1a_n\\ 0&-a_2a_1&1-a_2^2&\cdots&-a_2a_n\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&-a_na_1&-a_na_2&\cdots&1-a_n^2 \end{vmatrix}.\]
对 \(i=1,\ldots,n\) 作 \(R_{i+1}\leftarrow R_{i+1}+a_iR_1\)，得
\[D_n=\begin{vmatrix} 1&a_1&a_2&\cdots&a_n\\ a_1&1&0&\cdots&0\\ a_2&0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_n&0&0&\cdots&1 \end{vmatrix}.\]
再作 \(R_1\leftarrow R_1-\sum_{i=1}^n a_iR_{i+1}\)，即得
\[\boxed{D_n=1-\sum_{i=1}^n a_i^2.}\]
第三部分：答案汇总
| 题目 | 答案 |
|---|---|
| 第九节（一） | \(a=-1,b=5\) 时有解，通解含三个自由参数 |
| 第九节（二） | \(x^6(x^4-x^3+x^2-x+1)\) |
| 第十节（一） | \(a\ne4\) 时唯一解；\(a=4,b=5\) 时无穷多解；\(a=4,b\ne5\) 时无解 |
| 第十节（二） | \(1-\sum_{i=1}^n a_i^2\) |
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