2022-2023 学年《微积分（甲）Ⅰ》期中试卷归档

2022-2023 学年期中试卷：题目、详细解析与知识点总结。

来源：题目转录标注为《微积分甲期中卷.pdf》第 8 页。跨年度复习建议见 期中复习指南；返回 微积分历年卷索引。

本卷共 15 题。考试时间和各题分值在现有转录中未标注。本档依据现有转录整理题目，并补充完整解析；不另行推定原卷未标明的信息。

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根据归档题目整理的练习版，非原卷扫描件；仅含题目，并留有作答空间。

第一部分：题目

1.

叙述数列极限 \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A\in\mathbb{R}\) 的“\(\varepsilon-N\)”定义，并利用“\(\varepsilon-N\)”语言证明：\(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{2n^2-n+1}{n^2+2}=2\).

2.

计算极限 \(\lim\limits_{x\to 0}\left(e^{2x}-\arctan x\right)^{\csc x}\).

3.

计算极限 \(\lim\limits_{x\to\frac{2}{3}\pi}\dfrac{1+2\cos x}{3x-2\pi}\).

4.

计算极限 \(\lim\limits_{x\to-\infty}x\left(\sqrt{x^2+6x-1}+x+3\right)\).

5.

计算极限 \(\lim\limits_{n\to\infty}\left(\dfrac{1^2}{\sqrt{n^6+1+1}}+\dfrac{2^2}{\sqrt{n^6+2+\frac{1}{2}}}+\dots+\dfrac{n^2}{\sqrt{n^6+n+\frac{1}{n}}}\right)\).

6.

已知 \(f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{2xe^{n(x-1)}+ax^2+b}{e^{n(x-1)}+1}\) 在 \(\mathbb{R}\) 上可导，求常数 \(a,b\) 的值.

7.

已知 \(y=\dfrac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\dfrac{a^2}{2}\arcsin\dfrac{x}{a}\)（\(a>0\) 为实常数），求 \(\dfrac{dy}{dx}\).

8.

设 \(y=f(x)\) 是由方程 \(e^{x+y}-2xy=e\) 所确定的隐函数.

1. 求 \(f'(0)\)；(2) 计算 \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(y-1)\sin(ex)}{\sqrt{1+2x^2}-1}\).

9.

已知 \(\begin{cases} x=\ln\left(t+\sqrt{1+t^2}\right), \\ y=\sqrt{1+t^2}, \end{cases}\) 求 \(\dfrac{dy}{dx}\)，\(\dfrac{d^2y}{dx^2}\).

10.

曲线 \(C\) 的极坐标方程为 \(r=e^{\theta}+\theta\)，求曲线 \(C\) 在 \(\theta=\dfrac{\pi}{2}\) 处的切线方程.

11.

已知 \(f(x)=\arctan x\)，求 \(f^{(7)}(0)\).

12.

已知 \(f(x)=\dfrac{1}{e^{\frac{\sin\pi x}{x-1}}-1}\)（\(-1<x<2\)），试判断 \(f(x)\) 的间断点并据理说明间断点的类型.

13.

叙述并证明 Rolle(罗尔)定理.

14.

设数列 \(\{a_n\}\) 满足：\(a_1=3\)，\(2a_{n+1}=a_n+\dfrac{6}{a_n+1}(n\ge 1)\)，

1. 证明数列 \(\{a_n\}\) 收敛；(2) 计算 \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n\).

15.

设 \(f(x)\) 在 \([0,2]\) 上连续，在 \((0,2)\) 内可导，且 \(f(0)=0\)，\(f(1)=3\)，\(f(2)=-1\). 证明：(1) \(\exists\xi\in(0,2)\) 使得 \(f'(\xi)=0\)；(2) \(\exists\eta\in(0,2)\) 使得 \(f(\eta)+f'(\eta)=0\).

第二部分：详细解析

解析 1：数列极限定义与证明

题目

叙述数列极限 \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A\in\mathbb{R}\) 的“\(\varepsilon-N\)”定义，并利用“\(\varepsilon-N\)”语言证明：\(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{2n^2-n+1}{n^2+2}=2\).

答案 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{2n^2-n+1}{n^2+2}=2\)。

详细解析

数列 \(a_n\) 收敛于 \(A\in\mathbb R\) 的定义为：

\[\forall\varepsilon>0,\quad\exists N\in\mathbb N_+,\quad\forall n>N,\quad|a_n-A|<\varepsilon.\]

对题给数列，

\[\left|\frac{2n^2-n+1}{n^2+2}-2\right|=\frac{n+3}{n^2+2}\le\frac1n+\frac3{n^2}\le\frac4n\quad(n\ge1).\]

给定 \(\varepsilon>0\)，取 \(N=\lceil4/\varepsilon\rceil\)。当 \(n>N\) 时，上式小于 \(\varepsilon\)，故按定义极限为 \(2\)。

知识点与易错点 量词顺序是“任意误差—存在尾部起点—所有更后项”；给出明确的 N，并验证严格不等式。

解析 2：幂指型极限

题目

计算极限 \(\lim\limits_{x\to 0}\left(e^{2x}-\arctan x\right)^{\csc x}\).

答案 \(e\)。

详细解析

令 \(B(x)=e^{2x}-\arctan x\)，则 \(B(x)\to1\)，在零点附近为正。又

\[\frac{B(x)-1}{x}=\frac{e^{2x}-1}{x}-\frac{\arctan x}{x}\to2-1=1.\]

取对数，

\[\frac{\ln B(x)}{\sin x}=\frac{\ln B(x)}{B(x)-1}\frac{B(x)-1}{x}\frac{x}{\sin x}\to1.\]

因此原式趋于 \(e\)。其中 \(\arctan x\) 含一阶主项 \(x\)，与 \(e^{2x}-1\) 相减后主项为 \(x\)。

知识点与易错点 底数趋于 1 的幂指型先取对数；相减时必须同时保留各项的一阶系数。

解析 3：非零点处的三角函数极限

题目

计算极限 \(\lim\limits_{x\to\frac{2}{3}\pi}\dfrac{1+2\cos x}{3x-2\pi}\).

答案 \(-\sqrt3/3\)。

详细解析

令 \(a=2\pi/3\)，则 \(1+2\cos a=0\)，分母 \(3x-2\pi=3(x-a)\)。按余弦函数在 \(a\) 处的导数定义，

\[\lim_{x\to a}\frac{1+2\cos x}{3x-2\pi}=\frac23\lim_{x\to a}\frac{\cos x-\cos a}{x-a}=-\frac23\sin a=-\frac{\sqrt3}{3}.\]

也可令 \(h=x-a\)，用和差化积及 \(\sin(h/2)/(h/2)\to1\) 得出同一结论。

知识点与易错点 分子在趋近点为零时，识别导数定义；分母的常数倍不能遗漏。

解析 4：负无穷处的根式差

题目

计算极限 \(\lim\limits_{x\to-\infty}x\left(\sqrt{x^2+6x-1}+x+3\right)\).

答案 \(5\)。

详细解析

将被开方数写成 \((x+3)^2-10\)，有理化得

\[x\left(\sqrt{x^2+6x-1}+x+3\right)=\frac{-10x}{\sqrt{x^2+6x-1}-(x+3)}.\]

由于 \(x\to-\infty\)，\(\sqrt{x^2}=|x|=-x\)。把分子、分母都除以 \(-x>0\)：

\[\frac{10}{\sqrt{1+6/x-1/x^2}+1+3/x}\to\frac{10}{2}=5.\]

这样同时消去两个趋于无穷大的主项，不需要单独展开根式。

知识点与易错点 负无穷方向提根号必须保留绝对值；根式差优先有理化。

解析 5：带平方根分母的变项和

题目

计算极限 \(\lim\limits_{n\to\infty}\left(\dfrac{1^2}{\sqrt{n^6+1+1}}+\dfrac{2^2}{\sqrt{n^6+2+\frac{1}{2}}}+\dots+\dfrac{n^2}{\sqrt{n^6+n+\frac{1}{n}}}\right)\).

答案 \(1/3\)。

详细解析

记

\[S_n=\sum_{k=1}^n\frac{k^2}{\sqrt{n^6+k+1/k}}.\]

当 \(1\le k\le n\) 时，\(0<k+1/k\le n+1\)，因此

\[\frac{\sum_{k=1}^n k^2}{\sqrt{n^6+n+1}}\le S_n\le\frac{\sum_{k=1}^n k^2}{n^3}.\]

而 \(\sum_{k=1}^n k^2=n(n+1)(2n+1)/6\)，上下界分别为

\[\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3\sqrt{1+(n+1)/n^6}},\qquad\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3},\]

都趋于 \(1/3\)。由夹逼定理，\(S_n\to1/3\)。

知识点与易错点 先对所有求和项给出统一界，再求和；逐个固定项趋于零不决定总和极限。

解析 6：极限函数的分段可导条件

题目

已知 \(f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{2xe^{n(x-1)}+ax^2+b}{e^{n(x-1)}+1}\) 在 \(\mathbb{R}\) 上可导，求常数 \(a,b\) 的值.

答案 \(a=1\)，\(b=1\)。

详细解析

先固定 \(x\) 求关于 \(n\) 的极限。根据 \(x-1\) 的符号，

\[f(x)=\begin{cases}ax^2+b,&x<1,\\(2+a+b)/2,&x=1,\\2x,&x>1.\end{cases}\]

在 \(x=1\) 处连续要求 \(a+b=2\)，此时 \(f(1)=2\)。再比较左右差商：左导数为 \(2a\)，右导数为 \(2\)。可导要求 \(2a=2\)，故 \(a=1,b=1\)。

反过来，此时两支都是多项式，且在 \(1\) 处连续、左右导数相同，所以确实在整个 \(\mathbb R\) 上可导。

知识点与易错点 先求逐点极限函数，再按连续和左右导数相等两步确定参数。

解析 7：反三角函数与根式求导

题目

已知 \(y=\dfrac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\dfrac{a^2}{2}\arcsin\dfrac{x}{a}\)（\(a>0\) 为实常数），求 \(\dfrac{dy}{dx}\).

答案 \(\displaystyle y'=\sqrt{a^2-x^2}\)（\(|x|<a\)）。

详细解析

在 \(|x|<a\) 时，分项求导：

\[\left(\frac x2\sqrt{a^2-x^2}\right)'=\frac12\sqrt{a^2-x^2}-\frac{x^2}{2\sqrt{a^2-x^2}},\]

\[\left(\frac{a^2}{2}\arcsin\frac xa\right)'=\frac{a^2}{2}\frac{1/a}{\sqrt{1-x^2/a^2}}=\frac{a^2}{2\sqrt{a^2-x^2}},\]

这里用了 \(a>0\)。相加后，后两项合为 \(\sqrt{a^2-x^2}/2\)，所以 \(y'=\sqrt{a^2-x^2}\)。若讨论端点的单侧导数，可由该表达式取极限得到 \(0\)。

知识点与易错点 链式法则中的 1/a 必须保留；先通分再利用抵消。

解析 8：隐函数求导与导数型极限

题目

设 \(y=f(x)\) 是由方程 \(e^{x+y}-2xy=e\) 所确定的隐函数.

1. 求 \(f'(0)\)；(2) 计算 \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(y-1)\sin(ex)}{\sqrt{1+2x^2}-1}\).

答案 \(f'(0)=(2-e)/e\)；所求极限为 \(2-e\)。

详细解析

令 \(x=0\)，方程给出 \(e^y=e\)，故 \(y=f(0)=1\)。两边对 \(x\) 求导：

\[e^{x+y}(1+y')-2(y+xy')=0,\]

\[y'=\frac{2y-e^{x+y}}{e^{x+y}-2x}.\]

在 \((0,1)\) 处，\(f'(0)=(2-e)/e\)。

再将极限拆成导数与重要极限的乘积：

\[\frac{(y-1)\sin(ex)}{\sqrt{1+2x^2}-1}=\frac{f(x)-f(0)}x\frac{\sin(ex)}x\frac{x^2}{\sqrt{1+2x^2}-1}.\]

三个因子分别趋于 \((2-e)/e\)、\(e\)、\(1\)，所以极限为 \(2-e\)。最后一个因子可通过有理化写成 \((\sqrt{1+2x^2}+1)/2\)。

知识点与易错点 先由隐式方程确定基点；极限分解为导数定义时，核对每个 x 的次数。

解析 9：参数方程的一阶和二阶导数

题目

已知 \(\begin{cases} x=\ln\left(t+\sqrt{1+t^2}\right), \\ y=\sqrt{1+t^2}, \end{cases}\) 求 \(\dfrac{dy}{dx}\)，\(\dfrac{d^2y}{dx^2}\).

答案 \(dy/dx=t\)，\(d^2y/dx^2=\sqrt{1+t^2}\)。

详细解析

先对参数 \(t\) 求导：

\[x'(t)=\frac1{\sqrt{1+t^2}},\qquad y'(t)=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}.\]

由于 \(x'(t)>0\)，可用 \(t\) 局部表示 \(x\) 的函数，从而

\[\frac{dy}{dx}=\frac{y'(t)}{x'(t)}=t,\]

\[\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)\frac1{x'(t)}=\sqrt{1+t^2}.\]

二阶导数是对 \(x\) 再求一次导数，不能误写成 \(y''(t)/x''(t)\)。

知识点与易错点 参数二阶求导要再除以 dx/dt；区分参数导数与自变量导数。

解析 10：极坐标曲线的切线

题目

曲线 \(C\) 的极坐标方程为 \(r=e^{\theta}+\theta\)，求曲线 \(C\) 在 \(\theta=\dfrac{\pi}{2}\) 处的切线方程.

答案 \(\displaystyle y-\left(e^{\pi/2}+\pi/2\right)=-\frac{e^{\pi/2}+1}{e^{\pi/2}+\pi/2}x\)。

详细解析

置 \(R=e^{\pi/2}+\pi/2\)，\(R'=e^{\pi/2}+1\)。极坐标转为

\[x=r(\theta)\cos\theta,\qquad y=r(\theta)\sin\theta.\]

在 \(\theta=\pi/2\)，切点为 \((0,R)\)。参数导数为

\[\frac{dx}{d\theta}=r'\cos\theta-r\sin\theta=-R,\qquad\frac{dy}{d\theta}=r'\sin\theta+r\cos\theta=R'.\]

因此切线斜率为 \(-R'/R\)，代入点斜式即得答案。

知识点与易错点 切点要转为直角坐标；先求参数导数再取比值，防止把极径误作斜率。

解析 11：反正切的七阶导数

题目

已知 \(f(x)=\arctan x\)，求 \(f^{(7)}(0)\).

答案 \(f^{(7)}(0)=-720\)。

详细解析

由 \(f(x)=\arctan x\)，有 \((1+x^2)f'(x)=1\)。对等式求 \(n\) 阶导数并代入 \(x=0\)，当 \(n\ge1\) 时得到

\[f^{(n+1)}(0)+n(n-1)f^{(n-1)}(0)=0.\]

利用 \(f'(0)=1\)，依次取 \(n=2,4,6\)，有

\[f^{(3)}(0)=-2,\quad f^{(5)}(0)=-12f^{(3)}(0)=24,\quad f^{(7)}(0)=-30f^{(5)}(0)=-720.\]

也可由 \(\arctan x=x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+o(x^7)\) 读取 \(x^7\) 系数，再乘 \(7!\)。

知识点与易错点 莱布尼茨公式可递推高阶导数；用泰勒系数时需乘对应阶乘。

解析 12：复合指数分式的间断点

题目

已知 \(f(x)=\dfrac{1}{e^{\frac{\sin\pi x}{x-1}}-1}\)（\(-1<x<2\)），试判断 \(f(x)\) 的间断点并据理说明间断点的类型.

答案 \(x=0\) 为第二类（无穷）间断点；\(x=1\) 为可去间断点。

详细解析

自然定义域是 \((-1,2)\setminus\{0,1\}\)。其中 \(x=1\) 使内层分母为零；当 \(x\ne1\) 时，外层分母为零等价于 \(\sin\pi x=0\)，区间内只余 \(x=0\)。

在 \(x=0\)，

\[u(x)=\frac{\sin\pi x}{x-1}\sim-\pi x,\qquad e^{u(x)}-1\sim u(x),\qquad f(x)\sim-\frac1{\pi x}.\]

故 \(f(0-)=+\infty\)，\(f(0+)=-\infty\)，属于第二类。

在 \(x=1\)，令 \(h=x-1\)，则 \(\sin\pi x/(x-1)=-\sin(\pi h)/h\to-\pi\)，所以

\[\lim_{x\to1}f(x)=\frac1{e^{-\pi}-1},\]

是有限值，补上该点值即可连续，故为可去间断点。端点 \(-1,2\) 不在题给开区间内。

知识点与易错点 先找所有自然定义域缺口，再分别求极限；内层无定义不一定导致外层无穷。

解析 13：罗尔定理的叙述与证明

题目

叙述并证明 Rolle(罗尔)定理.

答案 存在 \(\xi\in(a,b)\)，使 \(f'(\xi)=0\)。

详细解析

定理：若 \(a<b\)，\(f\) 在 \([a,b]\) 上连续，在 \((a,b)\) 内可导，且 \(f(a)=f(b)\)，则存在 \(\xi\in(a,b)\)，使 \(f'(\xi)=0\)。

证明：由闭区间连续函数的最值定理，\(f\) 在 \([a,b]\) 上取得最大值和最小值。若二者相等，则 \(f\) 是常值函数，任取内点即成立。

若二者不等，由端点值相等可知，至少一个最值在内点取得。记该点为 \(\xi\)。以取得极大值为例，充分小的 \(h\) 满足 \(f(\xi+h)-f(\xi)\le0\)；故 \(h>0\) 的差商不大于 \(0\)，\(h<0\) 的差商不小于 \(0\)。由该点可导，两个单侧导数相等，只能等于 \(0\)。极小值情形同理。

知识点与易错点 定理三项条件必须写全；证明结合最值定理与费马引理。

解析 14：递推数列的单调有界性

题目

设数列 \(\{a_n\}\) 满足：\(a_1=3\)，\(2a_{n+1}=a_n+\dfrac{6}{a_n+1}(n\ge 1)\)，

1. 证明数列 \(\{a_n\}\) 收敛；(2) 计算 \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n\).

答案 \(a_n\downarrow2\)。

详细解析

先用归纳法证明 \(a_n>2\)。初值 \(a_1=3>2\)。若 \(a_n>2\)，则

\[a_{n+1}-2=\frac{a_n^2-3a_n+2}{2(a_n+1)}=\frac{(a_n-2)(a_n-1)}{2(a_n+1)}>0.\]

同时

\[a_{n+1}-a_n=-\frac{(a_n-2)(a_n+3)}{2(a_n+1)}<0.\]

故数列递减且以下界 \(2\) 有界，存在有限极限 \(L\ge2\)。对递推式取极限，得 \(2L=L+6/(L+1)\)，即 \((L-2)(L+3)=0\)。由 \(L\ge2\)，只能 \(L=2\)。

知识点与易错点 不动点方程只提供候选值，须先证明单调有界并用界排除不合适的根。

解析 15：两次罗尔定理与指数辅助函数

题目

设 \(f(x)\) 在 \([0,2]\) 上连续，在 \((0,2)\) 内可导，且 \(f(0)=0\)，\(f(1)=3\)，\(f(2)=-1\). 证明：(1) \(\exists\xi\in(0,2)\) 使得 \(f'(\xi)=0\)；(2) \(\exists\eta\in(0,2)\) 使得 \(f(\eta)+f'(\eta)=0\).

答案 两问均成立，可选中值点位于 \((0,c)\)，其中 \(c\in(1,2)\) 为零点。

详细解析

由 \(f(1)=3>0>f(2)=-1\) 及连续性，存在 \(c\in(1,2)\)，使 \(f(c)=0=f(0)\)。

（1）对 \(f\) 在 \([0,c]\) 上应用罗尔定理，得到 \(\xi\in(0,c)\subset(0,2)\)，使 \(f'(\xi)=0\)。

（2）构造 \(F(x)=e^xf(x)\)。它在 \([0,c]\) 连续、内点可导，且 \(F(0)=F(c)=0\)。再用罗尔定理，存在 \(\eta\in(0,c)\) 满足

\[F'(\eta)=e^\eta[f(\eta)+f'(\eta)]=0.\]

由于 \(e^\eta>0\)，得 \(f(\eta)+f'(\eta)=0\)。

知识点与易错点 先用介值定理找同值端点；目标 f+f′ 提示构造 eˣf。

第三部分：知识点总结

答案与考点索引

题号	答案或结论	主要考点
1	\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{2n^2-n+1}{n^2+2}=2\)。	数列极限定义与证明
2	\(e\)。	幂指型极限
3	\(-\sqrt3/3\)。	非零点处的三角函数极限
4	\(5\)。	负无穷处的根式差
5	\(1/3\)。	带平方根分母的变项和
6	\(a=1\)，\(b=1\)。	极限函数的分段可导条件
7	\(\displaystyle y'=\sqrt{a^2-x^2}\)（\(\|x\|<a\)）。	反三角函数与根式求导
8	\(f'(0)=(2-e)/e\)；所求极限为 \(2-e\)。	隐函数求导与导数型极限
9	\(dy/dx=t\)，\(d^2y/dx^2=\sqrt{1+t^2}\)。	参数方程的一阶和二阶导数
10	\(\displaystyle y-\left(e^{\pi/2}+\pi/2\right)=-\frac{e^{\pi/2}+1}{e^{\pi/2}+\pi/2}x\)。	极坐标曲线的切线
11	\(f^{(7)}(0)=-720\)。	反正切的七阶导数
12	\(x=0\) 为第二类（无穷）间断点；\(x=1\) 为可去间断点。	复合指数分式的间断点
13	存在 \(\xi\in(a,b)\)，使 \(f'(\xi)=0\)。	罗尔定理的叙述与证明
14	\(a_n\downarrow2\)。	递推数列的单调有界性
15	两问均成立，可选中值点位于 \((0,c)\)，其中 \(c\in(1,2)\) 为零点。	两次罗尔定理与指数辅助函数

题型分布与复习重点

• 极限与定义证明（1–5）：明确 ε–N 量词；幂指型先取对数；负无穷根式保留绝对值；和式用统一夹逼。
• 导数与微分（6–11）：极限函数先分段；隐函数先定基点；参数二阶求导再除一次参数导数；极坐标切线转为直角坐标。
• 连续与间断（12）：自然定义域缺口、左右极限和可去补值分别检查。
• 定理与综合证明（13–15）：会完整叙述并证明罗尔定理；递推先证单调有界；指数辅助函数服务于目标 f+f′=0。

通用解题检查清单

• 定义证明：写出任意误差、明确选择尾部起点或邻域半径，并验证它对全部相关变量统一有效。
• 极限计算：先检查定义域与趋近方向；等价替换用于乘除，相减有抵消时先变形或保留足够阶数。
• 连续与可导：先检查函数值及左右极限，再比较左右差商；表达式化简不会自动恢复原来无定义的点。
• 高阶或参数导数：区分求导对象；每次参数二阶求导都要除以对应自变量的一阶参数导数。
• 存在性证明：先证明极限或根存在，再计算其候选值；应用介值或中值定理前逐项核对连续性、可导性和端值。

常用公式

\[\sin t\sim t,\quad\tan t\sim t,\quad1-\cos t\sim\frac{t^2}{2},\quad\ln(1+t)\sim t,\quad e^t-1\sim t\qquad(t\to0).\]

\[\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt},\qquad\frac{d^2y}{dx^2}=\frac1{dx/dt}\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right),\qquad dy=f'(x)\,dx.\]

若目标含 \(f'+\lambda f\)，可考虑 \((e^{\lambda x}f)'=e^{\lambda x}(f'+\lambda f)\)；若右边为常数，先适当平移函数。使用这些公式时仍需保留相应定义域和分母非零条件。

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