2025-2026 学年《微积分（甲）Ⅰ》期中试卷归档

2025-2026 学年期中试卷：题目、详细解析与知识点总结。

来源：题目转录标注为《微积分甲期中卷.pdf》第 12 页。跨年度复习建议见 期中复习指南；返回 微积分历年卷索引。

本卷共 13 题。考试时间和各题分值在现有转录中未标注。本档依据现有转录整理题目，并补充完整解析；不另行推定原卷未标明的信息。

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根据归档题目整理的练习版，非原卷扫描件；仅含题目，并留有作答空间。

第一部分：题目

1.

利用 \(\varepsilon-N\) 定义证明，若数列 \(\{a_n^3\}\) 收敛，则 \(\{a_n\}\) 必收敛.

2.

利用夹逼定理求极限 \(\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\).

注：奇数双阶乘 \((2n-1)!!=1\cdot 3\cdot\cdots\cdot(2n-1)\)，偶数双阶乘 \((2n)!!=2\cdot 4\cdot\cdots\cdot(2n)\).

3.

设 \(f(x)\) 在 \(x=1\) 处可导，且 \(f(1)=0\)，\(f'(1)=-2\)，求 \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{xf(\cos x)}{e^{\tan x}-e^{\sin x}}\).

4.

设函数 \(y=y(x)\) 由方程 \(x^2y+\sin(xy)=\ln(1+y)\) 确定，求 \(dy\).

5.

设 \(\begin{cases} x=\ln\left(t+\sqrt{1+t^2}\right), \\ y=\arctan t. \end{cases}\) 求 \(\dfrac{dx}{dy}\)，\(\dfrac{d^2x}{dy^2}\).

6.

求螺旋线 \(C:r=e^{\theta}\) 在 \(\theta=\dfrac{\pi}{2}\) 处的切线方程.

7.

设 \(y=\arcsin x\)，求 \(y^{(n)}(0)\).

8.

求下列函数极限.

1. \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(2^x-1)\sin x\ln(1+x)}{\tan x-\sin x}\)； (2) \(\lim\limits_{x\to 0}(\cos x)^{\csc^2 x}\).

9.

设 \(a_n=1+\dfrac{1}{3^2}+\dots+\dfrac{1}{(2n-1)^2}\). 分别用单调有界定理，柯西收敛准则两种方法证明数列 \(\{a_n\}\) 收敛.

10.

设函数 \(f(x)\) 在 \([0,2]\) 上连续，在 \((0,2)\) 上可导，且 \(f(0)=0\)，\(f(1)=f(2)=e\).

证明：(1) \(\exists\eta\in(0,2)\) 使得 \(f(\eta)=2\)；

2. \(\exists\xi\in(0,2)\) 使得 \(f'(\xi)+f(\xi)=e\).

11.

设 \(y=f(x)\) 是由方程 \(x^3+e^{xy}-\sin 3x+y=2\) 确定的隐函数，求 \(f'(0)\)，\(f''(0)\)，以及 \(\lim\limits_{n\to+\infty} n\left[f\left(\dfrac{1}{n}\right)-1\right]\).

12.

设 \(f_n(x)=x^n+2nx-2\)，\(n\in\mathbb{N}_+\). 证明 \(f_n(x)=0\) 在 \((0,+\infty)\) 上有唯一正根 \(a_n\)，并计算 \(\lim\limits_{n\to+\infty}(1+a_n)^n\).

13.

设 \(f(x)=\begin{cases} |x|^{\alpha}\sin(x^2), & x\ne 0, \\ 0, & x=0. \end{cases}\) 问 \(\alpha\) 取何值时，\(f(x)\) 在 \(x=0\) 处

1. 连续； (2) 可导； (3) 一阶导数连续.

第二部分：详细解析

解析 1：用定义证明立方根保收敛

题目

利用 \(\varepsilon-N\) 定义证明，若数列 \(\{a_n^3\}\) 收敛，则 \(\{a_n\}\) 必收敛.

答案 若 \(a_n^3\to A\)，则 \(a_n\to\sqrt[3]A\)。

详细解析

设 \(b=\sqrt[3]A\)。任意实数 \(u,v\) 满足

\[u^2+uv+v^2=\frac{(u-v)^2+3(u+v)^2}{4}\ge\frac{(u-v)^2}{4},\]

因而

\[|u^3-v^3|=|u-v|(u^2+uv+v^2)\ge\frac14|u-v|^3.\]

给定 \(\varepsilon>0\)，由 \(a_n^3\to A=b^3\)，存在 \(N\)，使 \(n>N\) 时 \(|a_n^3-b^3|<\varepsilon^3/4\)。于是

\[|a_n-b|^3\le4|a_n^3-b^3|<\varepsilon^3,\]

故 \(|a_n-b|<\varepsilon\)，按 \(\varepsilon\)–\(N\) 定义得到 \(a_n\to b\)。该证明同时覆盖 \(A=0\) 和正、负的极限。

知识点与易错点 把立方差转换为原数差的统一估计，可避免在极限为零时除以趋零因子。

解析 2：双阶乘比的夹逼

题目

利用夹逼定理求极限 \(\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\).

注：奇数双阶乘 \((2n-1)!!=1\cdot 3\cdot\cdots\cdot(2n-1)\)，偶数双阶乘 \((2n)!!=2\cdot 4\cdot\cdots\cdot(2n)\).

答案 \(0\)。

详细解析

记

\[A_n=\prod_{k=1}^n\frac{2k-1}{2k},\qquad B_n=\prod_{k=1}^n\frac{2k}{2k+1}.\]

因为 \((2k-1)(2k+1)<(2k)^2\)，逐项有 \((2k-1)/(2k)<2k/(2k+1)\)，所以 \(0<A_n<B_n\)。相乘后裂项得

\[A_nB_n=\prod_{k=1}^n\frac{2k-1}{2k+1}=\frac1{2n+1}.\]

故 \(0<A_n^2<A_nB_n=1/(2n+1)\)，从而

\[0<A_n<\frac1{\sqrt{2n+1}}\to0.\]

由夹逼定理，所求极限为 \(0\)。

知识点与易错点 构造相邻偶奇因子组成的配对乘积，使其裂项并形成平方上界。

解析 3：导数信息与三阶分母极限

题目

设 \(f(x)\) 在 \(x=1\) 处可导，且 \(f(1)=0\)，\(f'(1)=-2\)，求 \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{xf(\cos x)}{e^{\tan x}-e^{\sin x}}\).

答案 \(2\)。

详细解析

由 \(f(1)=0\)、\(f'(1)=-2\)，可写

\[f(\cos x)=-2(\cos x-1)+o(\cos x-1)=x^2+o(x^2).\]

分母先提指数公共因子：

\[e^{\tan x}-e^{\sin x}=e^{\sin x}\left(e^{\tan x-\sin x}-1\right)\sim\tan x-\sin x.\]

又

\[\tan x-\sin x=\frac{\sin x(1-\cos x)}{\cos x}\sim\frac{x^3}{2}.\]

所以分子为 \(x^3+o(x^3)\)，分母为 \(x^3/2+o(x^3)\)，比值趋于 \(2\)。

知识点与易错点 函数只在给定点可导即可提供一阶增量；先因式分解指数差，避免两项分别替换后抵消。

解析 4：隐函数的全微分表达

题目

设函数 \(y=y(x)\) 由方程 \(x^2y+\sin(xy)=\ln(1+y)\) 确定，求 \(dy\).

答案 \(\displaystyle dy=\frac{y(2x+\cos(xy))}{1/(1+y)-x^2-x\cos(xy)}\,dx\)（分母非零处）。

详细解析

题给对数要求 \(y>-1\)。视 \(y\) 为 \(x\) 的函数，两边求导：

\[2xy+x^2y'+\cos(xy)(y+xy')=\frac{y'}{1+y}.\]

把含 \(y'\) 的项移到同一边，得到

\[\left[\frac1{1+y}-x^2-x\cos(xy)\right]y'=2xy+y\cos(xy).\]

在方括号非零的局部可导分支上，除以该系数并乘 \(dx\)，即得答案。若该系数为零，不能直接使用分式，应另分析方程在该点是否确定可导函数。

知识点与易错点 隐函数求微分先整理 dy/dx；保留对数定义域和除法条件。

解析 5：反函数方向的参数二阶导数

题目

设 \(\begin{cases} x=\ln\left(t+\sqrt{1+t^2}\right), \\ y=\arctan t. \end{cases}\) 求 \(\dfrac{dx}{dy}\)，\(\dfrac{d^2x}{dy^2}\).

答案 \(dx/dy=\sqrt{1+t^2}\)；\(d^2x/dy^2=t\sqrt{1+t^2}\)。

详细解析

参数导数分别为

\[\frac{dx}{dt}=\frac1{\sqrt{1+t^2}},\qquad\frac{dy}{dt}=\frac1{1+t^2}.\]

题目要求的是对 \(y\) 求导，因此

\[\frac{dx}{dy}=\frac{dx/dt}{dy/dt}=\sqrt{1+t^2},\]

\[\frac{d^2x}{dy^2}=\frac{d}{dt}\left(\sqrt{1+t^2}\right)\frac1{dy/dt}=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}(1+t^2)=t\sqrt{1+t^2}.\]

也可用 \(t=\tan y\)、\(y\in(-\pi/2,\pi/2)\)，写为 \(dx/dy=\sec y\)、\(d^2x/dy^2=\sec y\tan y\)。

知识点与易错点 先看清自变量是 x 还是 y；二阶参数求导再除以相应自变量的参数导数。

解析 6：螺旋线的直角坐标切线

题目

求螺旋线 \(C:r=e^{\theta}\) 在 \(\theta=\dfrac{\pi}{2}\) 处的切线方程.

答案 \(x+y=e^{\pi/2}\)。

详细解析

参数化为 \(x=e^\theta\cos\theta\)、\(y=e^\theta\sin\theta\)，则

\[\frac{dx}{d\theta}=e^\theta(\cos\theta-\sin\theta),\qquad\frac{dy}{d\theta}=e^\theta(\sin\theta+\cos\theta).\]

在 \(\theta=\pi/2\)，切点是 \((0,e^{\pi/2})\)，\(dx/d\theta=-e^{\pi/2}\ne0\)，所以斜率为 \(-1\)。点斜式给出

\[y-e^{\pi/2}=-x,\quad\text{即 }x+y=e^{\pi/2}.\]

知识点与易错点 与参数方程切线统一处理，不能直接用 dr/dθ 代替 dy/dx。

解析 7：反正弦在原点的任意阶导数

题目

设 \(y=\arcsin x\)，求 \(y^{(n)}(0)\).

答案 \(\displaystyle y^{(2k)}(0)=0\)（\(k\ge1\)）；\(y^{(2k+1)}(0)=\frac{[(2k)!]^2}{4^k(k!)^2}=[(2k-1)!!]^2\)（\(k\ge0\)）。

详细解析

由 \(y=\arcsin x\)，有 \(y'=(1-x^2)^{-1/2}\)，进一步得到

\[ (1-x^2)y''=xy'.\]

对该等式求 \(n\) 阶导数，并在 \(x=0\) 代入。莱布尼茨公式给出

\[y^{(n+2)}(0)-n(n-1)y^{(n)}(0)=ny^{(n)}(0),\]

即 \(y^{(n+2)}(0)=n^2y^{(n)}(0)\)。结合 \(y(0)=0\)、\(y'(0)=1\)：所有偶数阶都为 \(0\)，奇数阶依次为

\[y^{(2k+1)}(0)=1^2\cdot3^2\cdots(2k-1)^2=[(2k-1)!!]^2.\]

由 \((2k-1)!!=(2k)!/(2^kk!)\) 得答案中的阶乘形式。约定 \((-1)!!=1\)，覆盖 \(k=0\) 时的一阶导数；若问零阶，\(y(0)=0\)。

知识点与易错点 高阶导数可用函数满足的微分关系递推；系数与导数相差阶乘，不能混淆。

解析 8：三角差式与幂指型的两个极限

题目

求下列函数极限.

1. \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(2^x-1)\sin x\ln(1+x)}{\tan x-\sin x}\)； (2) \(\lim\limits_{x\to 0}(\cos x)^{\csc^2 x}\).

答案 （1）\(2\ln2\)；（2）\(e^{-1/2}\)。

详细解析

（1）利用

\[\tan x-\sin x=\frac{\sin x(1-\cos x)}{\cos x},\]

在充分小的非零 \(x\) 处约去 \(\sin x\)，原式化为

\[\frac{(2^x-1)\ln(1+x)\cos x}{1-\cos x}.\]

由 \(2^x-1\sim x\ln2\)、\(\ln(1+x)\sim x\)、\(1-\cos x\sim x^2/2\)，极限为 \(2\ln2\)。

（2）零点附近 \(\cos x>0\)，取对数后为

\[\frac{\ln\cos x}{\sin^2x}\to-\frac12,\]

因此原幂指函数极限为 \(e^{-1/2}\)。两小问分别依靠分母的三阶与二阶主项。

知识点与易错点 指数底数为 2 时主项系数是 ln2；三角差式先变形比直接相减更稳妥。

解析 9：部分和收敛的两种证明

题目

设 \(a_n=1+\dfrac{1}{3^2}+\dots+\dfrac{1}{(2n-1)^2}\). 分别用单调有界定理，柯西收敛准则两种方法证明数列 \(\{a_n\}\) 收敛.

答案 \(\{a_n\}\) 收敛，且 \(1\le a_n<5/4\)（不要求求其精确极限）。

详细解析

写为 \(a_n=\sum_{k=1}^n1/(2k-1)^2\)。

方法一：单调有界定理。 每次增加一个正项，故 \(a_n\) 递增。对 \(k\ge2\)，

\[\frac1{(2k-1)^2}\le\frac1{4k(k-1)}=\frac14\left(\frac1{k-1}-\frac1k\right).\]

求和得 \(a_n\le1+\frac14(1-1/n)<5/4\)（\(n=1\) 时也满足界）。因此单调有界，数列收敛。

方法二：柯西收敛准则。 对任意 \(m>n\)，用同一放缩得

\[|a_m-a_n|\le\frac14\sum_{k=n+1}^m\left(\frac1{k-1}-\frac1k\right)=\frac14\left(\frac1n-\frac1m\right)<\frac1{4n}.\]

给定 \(\varepsilon>0\)，取 \(N=\lceil1/(4\varepsilon)\rceil\)，则所有 \(m>n>N\) 都使差小于 \(\varepsilon\)，由实数列柯西准则得收敛。

知识点与易错点 尾和估计必须对任意更后项 m 统一成立；两种方法分别交代单调有界和量词。

解析 10：介值定理与平移后的指数辅助函数

题目

设函数 \(f(x)\) 在 \([0,2]\) 上连续，在 \((0,2)\) 上可导，且 \(f(0)=0\)，\(f(1)=f(2)=e\).

证明：(1) \(\exists\eta\in(0,2)\) 使得 \(f(\eta)=2\)；

2. \(\exists\xi\in(0,2)\) 使得 \(f'(\xi)+f(\xi)=e\).

答案 （1）存在 \(\eta\in(0,1)\)；（2）存在 \(\xi\in(1,2)\)。

详细解析

（1）因为 \(f(0)=0<2<e=f(1)\)，由连续函数的介值定理，存在 \(\eta\in(0,1)\)，使 \(f(\eta)=2\)。

（2）构造 \(F(x)=e^x[f(x)-e]\)。它在 \([1,2]\) 上连续、内点可导，且 \(F(1)=F(2)=0\)。由罗尔定理，存在 \(\xi\in(1,2)\)，使

\[F'(\xi)=e^\xi[f'(\xi)+f(\xi)-e]=0.\]

消去非零的指数因子，即得 \(f'(\xi)+f(\xi)=e\)。其中减去常数 \(e\) 的目的，是让辅助函数在两端同为零。

知识点与易错点 目标 f′+f=常数时先平移 f，再乘指数函数；用同值端点选定罗尔区间。

解析 11：隐函数二阶导数与数列差商

题目

设 \(y=f(x)\) 是由方程 \(x^3+e^{xy}-\sin 3x+y=2\) 确定的隐函数，求 \(f'(0)\)，\(f''(0)\)，以及 \(\lim\limits_{n\to+\infty} n\left[f\left(\dfrac{1}{n}\right)-1\right]\).

答案 \(f'(0)=2\)，\(f''(0)=-5\)，所求数列极限为 \(2\)。

详细解析

在 \(x=0\) 时，原方程变为 \(1+y=2\)，故 \(f(0)=1\)。一次求导为

\[3x^2+e^{xy}(y+xy')-3\cos3x+y'=0.\]

代入 \((0,1)\)，得到 \(1-3+f'(0)=0\)，所以 \(f'(0)=2\)。再次求导：

\[6x+e^{xy}\left[(y+xy')^2+2y'+xy''\right]+9\sin3x+y''=0.\]

代入 \(x=0\)、\(y=1\)、\(y'=2\)，得 \(1+4+f''(0)=0\)，所以 \(f''(0)=-5\)。

最后

\[n[f(1/n)-1]=\frac{f(1/n)-f(0)}{1/n}\to f'(0)=2.\]

这里 \(1/n\to0^+\)，可直接使用已经存在的导数，不需要再写二阶展开。

知识点与易错点 隐式二阶求导包含指数链式项的平方；数列差商可直接识别为导数。

解析 12：正根存在唯一性与尺度极限

题目

设 \(f_n(x)=x^n+2nx-2\)，\(n\in\mathbb{N}_+\). 证明 \(f_n(x)=0\) 在 \((0,+\infty)\) 上有唯一正根 \(a_n\)，并计算 \(\lim\limits_{n\to+\infty}(1+a_n)^n\).

答案 唯一正根 \(a_n\) 存在；\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(1+a_n)^n=e\)。

详细解析

\(f_n(x)=x^n+2nx-2\) 在 \([0,+\infty)\) 连续，且在正半轴严格递增。由 \(f_n(0)=-2<0\)、\(f_n(1)=2n-1>0\)，知有唯一正根 \(a_n\in(0,1)\)。

根方程给出 \(a_n^n+2na_n=2\)，所以 \(0<a_n<1/n\)。从而 \(a_n\to0\)，且当 \(n\ge2\) 时，

\[0<a_n^n<n^{-n}\to0,\qquad na_n=1-\frac{a_n^n}{2}\to1.\]

因此

\[n\ln(1+a_n)=na_n\frac{\ln(1+a_n)}{a_n}\to1,\]

取指数得 \((1+a_n)^n\to e\)。先求 \(na_n\) 的尺度，而不是只知道 \(a_n\to0\)，才能确定幂指极限。

知识点与易错点 正根用介值加严格单调；从根方程估计 n·a_n 与变指数余项。

解析 13：带绝对值幂的连续与可导阈值

题目

设 \(f(x)=\begin{cases} |x|^{\alpha}\sin(x^2), & x\ne 0, \\ 0, & x=0. \end{cases}\) 问 \(\alpha\) 取何值时，\(f(x)\) 在 \(x=0\) 处

1. 连续； (2) 可导； (3) 一阶导数连续.

答案 连续当且仅当 \(\alpha>-2\)；可导当且仅当 \(\alpha>-1\)；一阶导数连续当且仅当 \(\alpha>-1\)。

详细解析

（1）因 \(\sin(x^2)/(x^2)\to1\)，有

\[f(x)=|x|^{\alpha+2}\frac{\sin(x^2)}{x^2}.\]

故在 \(0\) 处趋于 \(f(0)=0\) 当且仅当 \(\alpha+2>0\)。\(\alpha=-2\) 时极限为 \(1\)，\(\alpha<-2\) 时趋于正无穷，均不连续。

（2）零点差商为

\[\frac{f(x)}x=\operatorname{sgn}(x)|x|^{\alpha+1}\frac{\sin(x^2)}{x^2}.\]

若 \(\alpha>-1\)，极限为 \(0\)，故 \(f'(0)=0\)；若 \(\alpha=-1\)，两侧分别趋于 \(1,-1\)；若 \(\alpha<-1\)，差商无有限极限。因此可导的充要条件是 \(\alpha>-1\)。

（3）对 \(x\ne0\)，

\[f'(x)=\alpha\operatorname{sgn}(x)|x|^{\alpha-1}\sin(x^2)+2x|x|^\alpha\cos(x^2).\]

利用 \(|\sin(x^2)|\le x^2\)、\(|\cos(x^2)|\le1\)，得

\[|f'(x)|\le(|\alpha|+2)|x|^{\alpha+1}.\]

当 \(\alpha>-1\) 时趋于零，与 \(f'(0)=0\) 一致，故一阶导数连续。反之，导函数在零点连续至少要求零点可导，已知必须 \(\alpha>-1\)，所以也是充要条件。

知识点与易错点 这里是 sin(x²)，不是 sin(1/x²)；先写精确差商，再检查临界参数两侧极限。

第三部分：知识点总结

答案与考点索引

题号	答案或结论	主要考点
1	若 \(a_n^3\to A\)，则 \(a_n\to\sqrt[3]A\)。	用定义证明立方根保收敛
2	\(0\)。	双阶乘比的夹逼
3	\(2\)。	导数信息与三阶分母极限
4	\(\displaystyle dy=\frac{y(2x+\cos(xy))}{1/(1+y)-x^2-x\cos(xy)}\,dx\)（分母非零处）。	隐函数的全微分表达
5	\(dx/dy=\sqrt{1+t^2}\)；\(d^2x/dy^2=t\sqrt{1+t^2}\)。	反函数方向的参数二阶导数
6	\(x+y=e^{\pi/2}\)。	螺旋线的直角坐标切线
7	\(\displaystyle y^{(2k)}(0)=0\)（\(k\ge1\)）；\(y^{(2k+1)}(0)=\frac{[(2k)!]^2}{4^k(k!)^2}=[(2k-1)!!]^2\)（\(k\ge0\)）。	反正弦在原点的任意阶导数
8	（1）\(2\ln2\)；（2）\(e^{-1/2}\)。	三角差式与幂指型的两个极限
9	\(\{a_n\}\) 收敛，且 \(1\le a_n<5/4\)（不要求求其精确极限）。	部分和收敛的两种证明
10	（1）存在 \(\eta\in(0,1)\)；（2）存在 \(\xi\in(1,2)\)。	介值定理与平移后的指数辅助函数
11	\(f'(0)=2\)，\(f''(0)=-5\)，所求数列极限为 \(2\)。	隐函数二阶导数与数列差商
12	唯一正根 \(a_n\) 存在；\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(1+a_n)^n=e\)。	正根存在唯一性与尺度极限
13	连续当且仅当 \(\alpha>-2\)；可导当且仅当 \(\alpha>-1\)；一阶导数连续当且仅当 \(\alpha>-1\)。	带绝对值幂的连续与可导阈值

题型分布与复习重点

• 收敛性证明（1、2、9）：立方差给出统一的三次方估计；双阶乘构造配对乘积；柯西准则必须统一控制所有尾项。
• 复合极限（3、8、12）：导数信息转换成增量；指数底数贡献 ln2；根方程先给出 n·a_n 的尺度，再求幂指极限。
• 导数与微分（4–7、11）：读清 dx/dy 的方向；二阶隐式求导保留平方项；反正弦高阶导数用微分方程递推。
• 中值定理与阈值（10、13）：平移后乘指数以制造等端值；参数阈值分别检查临界点，sin(x²) 不按高频振荡处理。

通用解题检查清单

• 定义证明：写出任意误差、明确选择尾部起点或邻域半径，并验证它对全部相关变量统一有效。
• 极限计算：先检查定义域与趋近方向；等价替换用于乘除，相减有抵消时先变形或保留足够阶数。
• 连续与可导：先检查函数值及左右极限，再比较左右差商；表达式化简不会自动恢复原来无定义的点。
• 高阶或参数导数：区分求导对象；每次参数二阶求导都要除以对应自变量的一阶参数导数。
• 存在性证明：先证明极限或根存在，再计算其候选值；应用介值或中值定理前逐项核对连续性、可导性和端值。

常用公式

\[\sin t\sim t,\quad\tan t\sim t,\quad1-\cos t\sim\frac{t^2}{2},\quad\ln(1+t)\sim t,\quad e^t-1\sim t\qquad(t\to0).\]

\[\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt},\qquad\frac{d^2y}{dx^2}=\frac1{dx/dt}\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right),\qquad dy=f'(x)\,dx.\]

若目标含 \(f'+\lambda f\)，可考虑 \((e^{\lambda x}f)'=e^{\lambda x}(f'+\lambda f)\)；若右边为常数，先适当平移函数。使用这些公式时仍需保留相应定义域和分母非零条件。

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