2019-2020 学年秋冬《线性代数（甲）》期中归档
共 8 道题，保留试卷题号和分值。先独立作答，再对照解析与考点索引。
根据归档题目整理的练习版，非原卷扫描件；仅含题目，并留有作答空间。
第一部分：题目
1.（10 分）
设有下列 \(n\) 阶行列式：
\[ D_n=\begin{vmatrix} 4 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ 4 & 4 & 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 4 & 4 & 1 & 0 & \cdots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ 0 & \cdots & 0 & 4 & 4 & 1\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 4 & 4 \end{vmatrix}, \]
试证明：\(D_n=(1+n)2^n\)。
2.（10 分）
设 \(\alpha=(1,0,-1)^{\mathrm{T}}\)，矩阵 \(A=\alpha\alpha^{\mathrm{T}}\)，又设 \(n\) 为一正整数，试求 \(|2E-(A^{*})^n+A^n|\)。
3.（15 分）
设有实方阵 \(A=\begin{pmatrix}1 & 3 & 9\\ 2 & 0 & 6\\ -3 & 1 & -7\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}0 & a & b\\ 2 & 0 & 6\\ -1 & 1 & 0\end{pmatrix}\)，其中 \(a,b\) 为实常数。已知 \(r(A)=r(B)\)，且线性方程组 \(AX=(b,1,0)^{\mathrm{T}}\) 有解，试求 \(a,b\) 的值。
4.（20 分）
当实数 \(a\) 取何值时线性方程组
\[ \begin{cases} -x_1-4x_2+x_3=1,\\ ax_2-3ax_3=3,\\ x_1+3x_2+(a+1)x_3=0 \end{cases} \]
无解，有唯一解，有无穷解？有解时请求出所有解。
5.（15 分）
设 \(A=\begin{pmatrix}k & 1 & 1 & 1\\ 1 & k & 1 & 1\\ 1 & 1 & k & 1\\ k & k & k & k\end{pmatrix}\)，其中 \(k\) 为实常数，试求 \(A\) 的秩 \(r(A)\)。
6.（20 分）
设 \(A,B\) 为 \(n\) 阶方阵，试证明：
（1）\(\mathrm{tr}(A+B)=\mathrm{tr} A+\mathrm{tr} B\)；
（2）\(\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)\)；
（3）设 \(P\) 是一个 \(n\) 阶可逆矩阵，则有 \(\mathrm{tr}(P^{-1}AP)=\mathrm{tr} A\)；
（4）若 \(A=E_{ij}\)，其中 \(E_{ij}\) 是第 \(i\) 行第 \(j\) 列处的元素为 1、其余元素全部为零的 \(n\) 阶方阵，试求 \(\mathrm{tr} A\)。
7.（5 分）
设 \(A\) 是一个 \(n\)（\(n\ge 2\)）阶方阵，\(A^{*}\) 是 \(A\) 的伴随矩阵。若存在 \(n\) 维非零列向量 \(\alpha\) 使得 \(A\alpha=\theta\)，其中 \(\theta\) 为 \(n\) 维零列向量，且非齐次线性方程组 \(A^{*}X=\alpha\) 有解，试证明：\(r(A)=n-1\)。
8.（5 分）
设 \(A\) 为 \(n\) 阶可逆矩阵，\(\alpha,\beta\) 为两个 \(n\) 维列向量，试证明：\(|A+\alpha\beta^{\mathrm{T}}|=|A|+\beta^{\mathrm{T}}A^{*}\alpha\)。
第二部分：详细解析
1.（10 分）
记该 \(n\) 阶行列式为 \(D_n\)。按最后一行展开：最后一行只有末两个元素非零，
\[D_n=4M_{nn}-4M_{n,n-1},\]
其中删去第 \(n\) 行、第 \(n\) 列余下的恰是 \(D_{n-1}\)，故 \(M_{nn}=D_{n-1}\)；而删去第 \(n\) 行、第 \(n-1\) 列后，余下矩阵呈分块下三角形状 \(\begin{pmatrix}M_{n-2} & 0\\ 4e_{n-2}^{\mathrm{T}} & 1\end{pmatrix}\)，故 \(M_{n,n-1}=D_{n-2}\)。于是
\[D_n=4D_{n-1}-4D_{n-2}\qquad(n\ge 3),\]
且 \(D_1=4\)，\(D_2=4\times 4-1\times 4=12\)。
对 \(n\) 归纳证明 \(D_n=(n+1)2^n\)：\(n=1,2\) 已验证。设结论对 \(n-1,n-2\) 成立，则
\[D_n=4\cdot n2^{n-1}-4\cdot(n-1)2^{n-2}=2^{n-1}(4n)-2^n(n-1)=2^n(2n-n+1)=(n+1)2^n.\]
答案 \(D_n=(n+1)2^n\)。
考点 行列式。
易错点 交换两行变号；倍乘一行才提取一个因子；余子式须带 \((-1)^{i+j}\)。
2.（10 分）
先化简 \(A\)，再逐项求值。
由 \(\alpha^{\mathrm{T}}\alpha=1^2+0^2+(-1)^2=2\) 得
\[A^2=\alpha(\alpha^{\mathrm{T}}\alpha)\alpha^{\mathrm{T}}=2\alpha\alpha^{\mathrm{T}}=2A,\]
故对正整数 \(n\) 有 \(A^n=2^{n-1}A\)。
又 \(A\) 为三阶矩阵且 \(r(A)=1<3-1=2\)，即 \(A\) 的所有二阶子式全为零，故其伴随矩阵 \(A^{*}=O\)，从而 \((A^{*})^n=O\)。于是待求行列式化为
\[|2E-(A^{*})^n+A^n|=|2E+2^{n-1}A|=2^3\left|E+2^{n-2}A\right|.\]
对秩一的 \(A=\alpha\alpha^{\mathrm{T}}\) 用矩阵行列式引理 \(|E+uv^{\mathrm{T}}|=1+v^{\mathrm{T}}u\)，得
\[\left|E+2^{n-2}A\right|=1+2^{n-2}\alpha^{\mathrm{T}}\alpha=1+2^{n-1}.\]
答案 \(|2E-(A^{*})^n+A^n|=8(1+2^{n-1})=2^{n+2}+8\)。
注 此处 \(r(A)=1<3-1\)（\(A\) 为三阶），所以 \(A^{*}=O\)，不能套用 \(A^{*}=|A|A^{-1}\)（\(A\) 本身不可逆）。
考点 伴随矩阵。
易错点 先判断阶数与可逆性，不能把伴随矩阵当作转置。
3.（15 分）
先求 \(r(A)\)。对 \(A\) 作初等行变换
\[A\rightarrow\begin{pmatrix}1 & 3 & 9\\ 0 & -6 & -12\\ 0 & 10 & 20\end{pmatrix},\]
第三行是第二行的 \(-\frac{5}{3}\) 倍，故 \(r(A)=2\)，于是题设 \(r(A)=r(B)\) 给出 \(r(B)=2\)。
由 \(B\) 是三阶方阵，\(r(B)=2\) 等价于 \(|B|=0\)。按第一行展开
\[|B|=-a\begin{vmatrix}2 & 6\\ -1 & 0\end{vmatrix}+b\begin{vmatrix}2 & 0\\ -1 & 1\end{vmatrix}=-6a+2b,\]
故 \(b=3a\)；此时 \(B\) 的第二、三两行不成比例，秩确为 2。
再处理有解条件。设 \(X=(x_1,x_2,x_3)^{\mathrm{T}}\)，对增广矩阵作行变换
\[\begin{pmatrix}1 & 3 & 9 & b\\ 2 & 0 & 6 & 1\\ -3 & 1 & -7 & 0\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1 & 3 & 9 & b\\ 0 & -6 & -12 & 1-2b\\ 0 & 10 & 20 & 3b\end{pmatrix},\]
底两行成比例，方程组有解当且仅当对应的常数列也成同一比例，即
\[3b=-\frac{5}{3}(1-2b)\Longrightarrow 9b=10b-5\Longrightarrow b=5.\]
再由 \(b=3a\) 得 \(a=\frac{5}{3}\)。
答案 \(a=\frac{5}{3}\)，\(b=5\)。
考点 线性方程组、矩阵方程、秩与空间维数。
易错点 含参消元在除以参数前先分情形；通解写成特解加齐次通解。
4.（20 分）
系数矩阵的行列式
\[|A|=\begin{vmatrix}-1 & -4 & 1\\ 0 & a & -3a\\ 1 & 3 & a+1\end{vmatrix}=(-1)\cdot\left[a(a+1)+9a\right]-(-4)\cdot 3a+1\cdot(-a)=a(1-a),\]
故 \(|A|\neq 0\) 即 \(a\neq 0\) 且 \(a\neq 1\) 时方程组有唯一解。
（1）唯一解（\(a\neq 0,1\)）。由第二式（\(a\neq 0\)）得 \(x_2=3x_3+\frac{3}{a}\)，代入第一式得
\[x_1=-1-4x_2+x_3=-1-\frac{12}{a}-11x_3,\]
再代入第三式：
\[\left(-1-\frac{12}{a}-11x_3\right)+3\left(3x_3+\frac{3}{a}\right)+(a+1)x_3=0\Longrightarrow (a-1)x_3=1+\frac{3}{a}=\frac{a+3}{a},\]
于是
\[x_3=\frac{a+3}{a(a-1)},\qquad x_2=3x_3+\frac{3}{a}=\frac{6(a+1)}{a(a-1)},\qquad x_1=-1-\frac{12}{a}-11x_3=-\frac{(a+1)(a+21)}{a(a-1)}.\]
（2）无解（\(a=0\) 或 \(a=1\)）。当 \(a=0\) 时第二式为 \(0=3\)，矛盾；当 \(a=1\) 时由第二式 \(x_2=3x_3+3\)、第一式 \(x_1=-13-11x_3\)，代入第三式左端恒为 \(-4\neq 0\)，亦矛盾。
（3）无穷多解。不存在。因为 \(|A|=0\) 只可能是 \(a=0\) 或 \(a=1\)，而这两种情形都已判定无解。
答案 \(a\neq 0,1\) 时有唯一解如上；\(a=0\) 或 \(a=1\) 时无解；不存在有无穷多解的情形。
考点 线性方程组。
易错点 含参消元在除以参数前先分情形；通解写成特解加齐次通解。
5.（15 分）
先用行变换把 \(A\) 化出大量零元。将第 4 行减到前三行（行列式不变），再提出前三行的公因子 \(1-k\)：
\[|A|=\begin{vmatrix}0 & 1-k & 1-k & 1-k\\ 1-k & 0 & 1-k & 1-k\\ 1-k & 1-k & 0 & 1-k\\ k & k & k & k\end{vmatrix}=(1-k)^3\begin{vmatrix}0 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0 & 1\\ k & k & k & k\end{vmatrix}.\]
右边行列式前三行之和为 \((2,2,2,3)\)，故用 \(R_4\leftarrow R_4-k(R_1+R_2+R_3)\) 把末行 \((k,k,k,k)\) 化为 \((-k,-k,-k,-2k)=-k(1,1,1,2)\)，再提出因子 \(-k\)：
\[|A|=(1-k)^3\cdot(-k)\begin{vmatrix}0 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 2\end{vmatrix}.\]
对右边行列式交换第一、二行，再逐次消元：
\[\begin{vmatrix}0 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 2\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}1 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}1 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & -2 & -1\\ 0 & 0 & -1 & 0\end{vmatrix}=-(1\cdot 1\cdot(-1))=1,\]
末式按前两列展开，余下二阶子式为 \(\begin{vmatrix}-2 & -1\\ -1 & 0\end{vmatrix}=-1\)。故
\[|A|=-k(1-k)^3=k(k-1)^3,\]
即 \(|A|=0\) 当且仅当 \(k=0\) 或 \(k=1\)。
\(k\neq 0,1\) 时 \(|A|\neq 0\)，\(r(A)=4\)。
\(k=1\) 时 \(A\) 的元素全为 1，各行相同，\(r(A)=1\)。
\(k=0\) 时第四行全为零，而左上角三阶子式 \(\begin{vmatrix}0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0\end{vmatrix}=2\neq 0\)，故 \(r(A)=3\)。
答案
\[r(A)=\begin{cases}4, & k\neq 0,1,\\ 3, & k=0,\\ 1, & k=1.\end{cases}\]
考点 秩与空间维数。
易错点 秩是最大非零子式的阶数；区分零空间、列空间与行空间。
6.（20 分）
记 \(A=(a_{ij})_{n\times n}\)，\(B=(b_{ij})_{n\times n}\)，\(AB=(c_{ij})_{n\times n}\)。
（1）由定义 \(\mathrm{tr}(A+B)=\sum_{i=1}^{n}(a_{ii}+b_{ii})=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}+\sum_{i=1}^{n}b_{ii}=\mathrm{tr} A+\mathrm{tr} B\)。
（2）\(c_{ii}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{ki}\)，故
\[\mathrm{tr}(AB)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{ki}=\sum_{k=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}b_{ki}a_{ik}=\mathrm{tr}(BA).\]
（3）由（2），把 \(P^{-1}\) 与 \(AP\) 看成两个 \(n\) 阶方阵：\(\mathrm{tr}(P^{-1}AP)=\mathrm{tr}(P^{-1}(AP))=\mathrm{tr}((AP)P^{-1})=\mathrm{tr} A\)。
（4）\(A=E_{ij}\) 只有第 \(i\) 行第 \(j\) 列元素为 1，它在主对角线上当且仅当 \(i=j\)，故 \(\mathrm{tr} E_{ij}=\begin{cases}1, & i=j,\\ 0, & i\neq j,\end{cases}\) 即 \(\mathrm{tr} E_{ij}=\delta_{ij}\)。
答案 （1）（2）（3）已证；（4）\(\mathrm{tr} E_{ij}=\delta_{ij}\)（\(i=j\) 时为 1，否则为 0）。
考点 矩阵方程。
易错点 逆矩阵不能随意跨过其他因子；只可在同侧作相应运算。
7.（5 分）
由 \(A\alpha=\theta\) 且 \(\alpha\neq\theta\) 知齐次方程组 \(AX=\theta\) 有非零解，故 \(|A|=0\)，从而
\[r(A)\le n-1.\]
再证反向不等式。若 \(r(A)\le n-2\)，则 \(A\) 的所有 \(n-1\) 阶子式全为零，于是 \(A^{*}=O\)，此时对任意 \(X\) 都有 \(A^{*}X=\theta\neq\alpha\)，与非齐次方程组 \(A^{*}X=\alpha\) 有解矛盾。故 \(r(A)\ge n-1\)。
结合两端即得 \(r(A)=n-1\)。
注 关键是 “\(r(A)<n-1\iff A^{*}=O\)”：解的存在性把 \(A^{*}\neq O\) 逼了出来，再配上 \(r(A)\le n-1\) 夹逼。
考点 伴随矩阵、线性方程组、秩与空间维数。
易错点 先判断阶数与可逆性，不能把伴随矩阵当作转置。
8.（5 分）
先用矩阵行列式引理。对任意列向量 \(u,v\)，
\[|E+uv^{\mathrm{T}}|=1+v^{\mathrm{T}}u,\]
理由：若 \(1+v^{\mathrm{T}}u=0\)，则 \((E+uv^{\mathrm{T}})u=u+u(v^{\mathrm{T}}u)=0\) 且 \(u\neq\theta\)，两边同时为零，等式成立；若 \(1+v^{\mathrm{T}}u\neq 0\)，则 \((E+uv^{\mathrm{T}})\left(E-\frac{uv^{\mathrm{T}}}{1+v^{\mathrm{T}}u}\right)=E\)，取行列式即得。
由 \(A\) 可逆，
\[|A+\alpha\beta^{\mathrm{T}}|=|A|\cdot|E+A^{-1}\alpha\beta^{\mathrm{T}}|=|A|(1+\beta^{\mathrm{T}}A^{-1}\alpha)=|A|+\beta^{\mathrm{T}}(|A|A^{-1})\alpha.\]
又 \(|A|A^{-1}=A^{*}\)，代入得
\[|A+\alpha\beta^{\mathrm{T}}|=|A|+\beta^{\mathrm{T}}A^{*}\alpha.\]
考点 伴随矩阵。
易错点 先判断阶数与可逆性，不能把伴随矩阵当作转置。
第三部分：知识点总结
答案与考点
| 题号 | 答案要点 | 主要考点 |
|---|---|---|
| 1 | （10）\(n\) 阶行列式递推：按末行展开 + 归纳得 \(D_n=(n+1)2^{n}\)。 | 行列式 |
| 2 | （10）秩 1 矩阵 \(A=\boldsymbol\alpha\boldsymbol\alpha^{\mathrm{T}}\) 与伴随矩阵：\(A^{*}=O\) 时值为 \(2^{n+2}+8\)。 | 伴随矩阵 |
| 3 | （15）秩相等与 \(AX=b\) 有解：\(a=\frac53,\ b=5\)。 | 线性方程组、矩阵方程、秩与空间维数 |
| 4 | （20）含参方程组解的结构：\(a\neq0,1\) 唯一解；\(a=0\) 或 \(1\) 无解（无无穷多解情形）。 | 线性方程组 |
| 5 | （15）含参 4 阶矩阵的秩：\(k\neq0,1\Rightarrow4\)；\(k=0\Rightarrow3\)；\(k=1\Rightarrow1\)。 | 秩与空间维数 |
| 6 | （20）迹 \(\operatorname{tr}\) 的四条性质证明（含 \(\operatorname{tr}E_{ij}=\delta_{ij}\)）。 | 矩阵方程 |
| 7 | （5）伴随矩阵与秩的夹逼：\(r(A)=n-1\)。 | 伴随矩阵、线性方程组、秩与空间维数 |
| 8 | （5）矩阵行列式引理：\(\|A+\boldsymbol\alpha\boldsymbol\beta^{\mathrm{T}}\|=\|A\|+\boldsymbol\beta^{\mathrm{T}}A^{*}\boldsymbol\alpha\)。 | 伴随矩阵 |
复习要点
- 行列式：优先用行、列倍加制造零元；三对角型按首行展开建立递推，并核对初值。
- 伴随矩阵：\(AA^*=A^*A=|A|E\)；\(|A^*|=|A|^{n-1}\)；可逆时 \(A^*=|A|A^{-1}\)。
- 线性方程组：\(r(A)<r(A\mid b)\) 时无解；两秩相等时有解，自由参数个数为 \(n-r(A)\)。
- 矩阵方程：\(AX=B\) 左乘 \(A^{-1}\)，\(XA=B\) 右乘 \(A^{-1}\)；先移项因式分解，再判断可逆性。
- 秩与空间维数：\(r(XY)\le\min\{r(X),r(Y)\}\)，\(r(X+Y)\le r(X)+r(Y)\)；可逆初等变换不改变秩。
易错点清单
- 交换两行变号；倍乘一行才提取一个因子；余子式须带 \((-1)^{i+j}\)。
- 先判断阶数与可逆性，不能把伴随矩阵当作转置。
- 含参消元在除以参数前先分情形；通解写成特解加齐次通解。
- 逆矩阵不能随意跨过其他因子；只可在同侧作相应运算。
- 秩是最大非零子式的阶数；区分零空间、列空间与行空间。
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