2021-2022 学年秋冬《线性代数（甲）》期中归档

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真题
2021-2022 学年期中试卷：题目、详细解析与知识点总结。
作者

easoncyy（整理）

发布于

2026年10月27日

共 8 道题，保留试卷题号和分值。先独立作答，再对照解析与考点索引。

来源：题目合集、解析合集。合集整理者：macanine。

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根据归档题目整理的练习版，非原卷扫描件；仅含题目，并留有作答空间。

第一部分：题目

1.（15 分）

设有下列 \(n\) 阶行列式

\[ D_n = \begin{vmatrix} 7 & -6 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ -1 & 7 & -6 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & -1 & 7 & -6 & 0 & \cdots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ 0 & \cdots & 0 & -1 & 7 & -6\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & -1 & 7 \end{vmatrix}. \]

（1）计算 \(D_1, D_2\)；

（2）假设当 \(n \le k\) 时有 \(D_n = \dfrac{6^{n+1}-1}{5}\)，证明：\(D_{k+1} = \dfrac{6^{k+2}-1}{5}\)。

2.（10 分）

设 \(B = \begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\)，矩阵 \(A\) 满足方程 \(BA = B^{\mathrm{T}}B\)，求 \(|A^{*} - 2E|\)。

3.（10 分）

设 \(n\) 阶实方阵 \(A\) 满足 \(A^2 = A\)，证明：\(r(A) + r(A - E) = n\)。

4.（20 分）

设有四元线性方程组

\[ \begin{cases} x_1 + x_2 - x_3 + 2x_4 = 0,\\ 2x_1 + 3x_2 - 3x_3 + 5x_4 = 0,\\ 3x_1 + x_2 - 2x_3 + 3x_4 = 0,\\ 2x_1 + x_2 - 5x_3 - x_4 = 0. \end{cases} \]

（1）写出该方程组的系数矩阵 \(A\)；

（2）利用初等行变换将矩阵 \(A\) 化为阶梯形矩阵 \(U\)；

（3）求 \(r(A)\)；

（4）写出该方程组的通解。

5.（10 分）

设实方阵 \(A\) 的伴随矩阵为 \(A^{*} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}\)，且 \(|A| > 0\)，已知矩阵 \(B\) 满足 \(AB = E + 3A\)，求矩阵 \(B\)。

6.（25 分）

设矩阵 \(A = \begin{pmatrix}3 & 1 & 0\\ 0 & 3 & 1\\ 0 & 0 & 3\end{pmatrix}\)。求

（1）\(A^2\)；

（2）\(A^3\)；

（3）\(A^{100}\)；

（4）\(A^{-1}\)；

（5）一个三次实系数多项式 \(f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c\) 使得 \(f(A)\) 为三阶零方阵。

7.（10 分）

设有 \(n\) 阶实方阵 \(A = (a_{ij})\) 满足：当 \(i = j\) 时，\(a_{ij} = 2021\)；当 \(i < j\) 时，\(a_{ij} = i^j\)；当 \(i > j\) 时，\(a_{ij} = (i + j)!\)。证明：\(|A| \ne 0\)。

8.（10 分）

设 \(A\) 为 \(n\) 阶方阵，且 \(r(A) = r > 0\)。证明存在秩为 \(r\) 的实方阵 \(B\) 和 \(C\)，使得 \(AB = CA\)。

第二部分：详细解析

1.（15 分）

记所给 \(n\) 阶行列式为 \(D_n\)（并约定 \(D_0 = 1\)，即空行列式的值）。

（1）按定义直接算：

\[ D_1 = |7| = 7, \qquad D_2 = \begin{vmatrix}7 & -6\\ -1 & 7\end{vmatrix} = 7 \times 7 - (-6) \times (-1) = 43. \]

（2）先找递推式。按第一列展开，第一列只有 \(a_{11} = 7\) 与 \(a_{21} = -1\) 非零：

\[ D_n = 7M_{11} + M_{21} = 7D_{n-1} + M_{21}, \]

其中 \(M_{11} = D_{n-1}\)；而删去第 2 行、第 1 列后，余下矩阵的第一行是 \((-6, 0, \dots, 0)\)，按这一行展开得 \(M_{21} = (-6) \cdot D_{n-2}\)（余下的正是同形状的 \(n-2\) 阶行列式）。于是

\[ D_n = 7D_{n-1} - 6D_{n-2} \qquad (n \ge 2). \]

再作归纳。\(n = 0, 1\) 时公式 \((6^{n+1}-1)/5\) 成立（分别为 \(1\) 与 \(7\)）。设 \(n \le k\) 时 \(D_n = \dfrac{6^{n+1}-1}{5}\)，则特别地 \(D_k = \dfrac{6^{k+1}-1}{5}\)，\(D_{k-1} = \dfrac{6^{k}-1}{5}\)，代入递推式

\[ \begin{aligned} D_{k+1} &= 7D_k - 6D_{k-1} = 7 \cdot \frac{6^{k+1}-1}{5} - 6 \cdot \frac{6^{k}-1}{5}\\ &= \frac{7 \cdot 6^{k+1} - 7 - 6^{k+1} + 6}{5} = \frac{6 \cdot 6^{k+1} - 1}{5} = \frac{6^{k+2}-1}{5}. \end{aligned} \]

代 \(n = 3\) 检验：\(D_3 = 7 \times 43 - 6 \times 7 = 259 = \dfrac{6^4-1}{5}\)。

答案 \(D_1 = 7\)，\(D_2 = 43\)；且 \(D_n = \dfrac{6^{n+1}-1}{5}\)，故 \(D_{k+1} = \dfrac{6^{k+2}-1}{5}\)。

考点 行列式。

易错点 交换两行变号；倍乘一行才提取一个因子；余子式须带 \((-1)^{i+j}\)。

2.（10 分）

由 \(|B| = 1 \ne 0\) 知 \(B\) 可逆，于是 \(BA = B^{\mathrm{T}}B\) 给出

\[ A = B^{-1}B^{\mathrm{T}}B. \]

取行列式，注意 \(|B^{\mathrm{T}}| = |B|\)、\(|B^{-1}| = |B|^{-1}\)：

\[ |A| = |B^{-1}| \cdot |B^{\mathrm{T}}| \cdot |B| = |B| = 1. \]

故 \(A\) 可逆，且 \(A^{*} = |A|A^{-1} = A^{-1}\)。于是

\[ |A^{*} - 2E| = |A^{-1} - 2E| = |A^{-1}| \cdot |E - 2A| = |E - 2A|. \]

把 \(A = B^{-1}B^{\mathrm{T}}B\) 代入，注意 \(E = B^{-1}B\)：

\[ E - 2A = B^{-1}B - 2B^{-1}B^{\mathrm{T}}B = B^{-1}\left(B - 2B^{\mathrm{T}}B\right), \]

两边取行列式并用 \(|B| = 1\)，得 \(|E - 2A| = |B - 2B^{\mathrm{T}}B|\)。逐项算出

\[ B^{\mathrm{T}}B = \begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 2\\ 1 & 2 & 3\end{pmatrix}, \qquad B - 2B^{\mathrm{T}}B = \begin{pmatrix}-1 & -1 & -1\\ -2 & -3 & -3\\ -2 & -4 & -5\end{pmatrix}. \]

对右边矩阵作行倍加（不改变行列式）：\(R_2 - 2R_1\)，\(R_3 - 2R_1\)，再 \(R_3 - 2R_2\)，化为上三角

\[ \begin{pmatrix}-1 & -1 & -1\\ 0 & -1 & -1\\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix}, \]

故 \(|B - 2B^{\mathrm{T}}B| = (-1)^3 = -1\)，从而 \(|A^{*} - 2E| = -1\)。

顺带算出

\[ A = B^{-1}B^{\mathrm{T}}B = \begin{pmatrix}0 & -1 & -1\\ 0 & 0 & -1\\ 1 & 2 & 3\end{pmatrix}, \qquad |A| = 1, \]

与上面一致。

答案 \(|A^{*} - 2E| = -1\)。

注 这里 \(A\) 是三阶方阵，所以 \(A^{*} = |A|A^{-1}\)、进而 \(A^{*} = A^{-1}\) 成立的前提是 \(|A| \ne 0\)；本题由 \(|A| = |B| = 1\) 保证。若误把 \(A^{*}\) 与 \(A\) 的阶数关系写成 \(|A^{*}| = |A|^n\)，结果就会差一个因子。

考点 伴随矩阵。

易错点 先判断阶数与可逆性，不能把伴随矩阵当作转置。

3.（10 分）

由 \(A^2 = A\) 得

\[ A(A - E) = A^2 - A = O. \]

用到两条关于秩的基本事实，设 \(X, Y\) 为 \(n\) 阶方阵：

（i）若 \(XY = O\)，则 \(\operatorname{Im} Y \subseteq \ker X\)，由秩－零化度定理 \(r(Y) \le \dim \ker X = n - r(X)\)，即 \(r(X) + r(Y) \le n\)；

（ii）\(\operatorname{Im}(X + Y) \subseteq \operatorname{Im} X + \operatorname{Im} Y\)，故 \(r(X + Y) \le r(X) + r(Y)\)。

上界。 在（i）中取 \(X = A\)，\(Y = A - E\)，由 \(A(A - E) = O\) 得

\[ r(A) + r(A - E) \le n. \]

下界。 在（ii）中取 \(X = A\)，\(Y = E - A\)，注意 \(A + (E - A) = E\) 且 \(r(E - A) = r(A - E)\)：

\[ n = r(E) = r\left(A + (E - A)\right) \le r(A) + r(E - A) = r(A) + r(A - E). \]

两式合并即得 \(r(A) + r(A - E) = n\)。\(\square\)

考点 矩阵幂与多项式、秩与空间维数。

易错点 二项式展开须保证参与的矩阵可交换；幂零与零矩阵不是同一概念。

4.（20 分）

（1）按未知量 \(x_1, x_2, x_3, x_4\) 的顺序取出系数：

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 2\\ 2 & 3 & -3 & 5\\ 3 & 1 & -2 & 3\\ 2 & 1 & -5 & -1 \end{pmatrix}. \]

（2）对 \(A\) 作初等行变换：先以第一行消去第一列其余元素，

\[ A \to \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 2\\ 0 & 1 & -1 & 1\\ 0 & -2 & 1 & -3\\ 0 & -1 & -3 & -5 \end{pmatrix}, \qquad \begin{array}{l} R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1,\\ R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1,\\ R_4 \leftarrow R_4 - 2R_1, \end{array} \]

再以第二行消去第二列下方元素，

\[ \to \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 2\\ 0 & 1 & -1 & 1\\ 0 & 0 & -1 & -1\\ 0 & 0 & -4 & -4 \end{pmatrix}, \qquad \begin{array}{l} R_3 \leftarrow R_3 + 2R_2,\\ R_4 \leftarrow R_4 + R_2, \end{array} \]

最后 \(R_4 \leftarrow R_4 - 4R_3\)，得阶梯形

\[ U = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 2\\ 0 & 1 & -1 & 1\\ 0 & 0 & -1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \]

（3）\(U\) 有三个非零行（主元分别在 1, 2, 3 列），故 \(r(A) = r(U) = 3\)。

（4）继续化为行最简形：\(R_3 \leftarrow -R_3\) 后依次作 \(R_2 + R_3\)，\(R_1 + R_3\)，\(R_1 - R_2\)，得

\[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \]

同解方程组为 \(x_1 = -x_4\)，\(x_2 = -2x_4\)，\(x_3 = -x_4\)。未知量 4 个、秩为 3，故自由未知量恰一个 \(x_4\)；令 \(x_4 = t\)（\(t\) 为任意实数）即得通解。代回原方程组四个方程均成立。

答案 \(A = \begin{pmatrix}1 & 1 & -1 & 2\\ 2 & 3 & -3 & 5\\ 3 & 1 & -2 & 3\\ 2 & 1 & -5 & -1\end{pmatrix}\)，\(U = \begin{pmatrix}1 & 1 & -1 & 2\\ 0 & 1 & -1 & 1\\ 0 & 0 & -1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)，\(r(A) = 3\)，通解为 \(X = t\begin{pmatrix}-1\\ -2\\ -1\\ 1\end{pmatrix}\)（\(t \in \mathbb{R}\)）。

考点 线性方程组、秩与空间维数、初等变换。

易错点 含参消元在除以参数前先分情形；通解写成特解加齐次通解。

5.（10 分）

先定 \(|A|\)。\(A^{*}\) 是主对角线全为 1 的下三角阵，故 \(|A^{*}| = 1\)。又对 \(n\) 阶方阵有 \(|A^{*}| = |A|^{n-1}\)，这里 \(n = 3\)，所以

\[ |A|^2 = 1 \implies |A| = \pm 1. \]

题目给出 \(|A| > 0\)，故 \(|A| = 1\)，从而 \(A\) 可逆且

\[ A^{*} = |A|A^{-1} = A^{-1}, \]

即 \(A^{-1} = A^{*}\)。

由 \(AB = E + 3A\)，两边左乘 \(A^{-1}\)：

\[ B = A^{-1}(E + 3A) = A^{-1} + 3E = A^{*} + 3E = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix} + 3E = \begin{pmatrix}4 & 0 & 0\\ 0 & 4 & 0\\ 1 & 0 & 4\end{pmatrix}. \]

回代验算：\(AB = A(A^{*} + 3E) = AA^{*} + 3A = |A|E + 3A = E + 3A\)，满足方程。顺带算出

\[ A = (A^{*})^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 1\end{pmatrix}, \qquad |A| = 1 > 0, \]

与题设 \(|A| > 0\) 相容。

答案 \(B = \begin{pmatrix}4 & 0 & 0\\ 0 & 4 & 0\\ 1 & 0 & 4\end{pmatrix}\)。

考点 伴随矩阵、矩阵方程。

易错点 先判断阶数与可逆性，不能把伴随矩阵当作转置。

6.（25 分）

记

\[ N = A - 3E = \begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}, \]

则 \(A = 3E + N\)，其中 \(3E\) 与 \(N\) 可交换，且

\[ N^2 = \begin{pmatrix}0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \ne O, \qquad N^3 = O. \]

\(N\) 幂零，故二项式定理可用：对 \(k \ge 3\)

\[ A^k = (3E + N)^k = \sum_{i=0}^{k} \binom{k}{i} 3^{k-i} N^i = 3^k E + k 3^{k-1} N + \binom{k}{2} 3^{k-2} N^2, \]

求和只到 \(i = 2\) 是因为 \(N^3 = O\)。由此逐项求值。

（1）取 \(k = 2\)：

\[ A^2 = 9E + 6N + N^2 = 9E + 6\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}9 & 6 & 1\\ 0 & 9 & 6\\ 0 & 0 & 9\end{pmatrix}. \]

（2）取 \(k = 3\)：

\[ A^3 = 27E + 27N + 9N^2 = \begin{pmatrix}27 & 27 & 9\\ 0 & 27 & 27\\ 0 & 0 & 27\end{pmatrix}. \]

（3）取 \(k = 100\)，\(\dbinom{100}{2} = \dfrac{100 \times 99}{2} = 4950\)：

\[ A^{100} = 3^{100}E + 100 \cdot 3^{99}N + 4950 \cdot 3^{98}N^2 = \begin{pmatrix} 3^{100} & 100 \cdot 3^{99} & 4950 \cdot 3^{98}\\ 0 & 3^{100} & 100 \cdot 3^{99}\\ 0 & 0 & 3^{100} \end{pmatrix}. \]

（与（2）对照：把 \(k = 3\) 代入 \(A^k\) 的公式即得 \(A^3\)，\(27, 27, 9\) 分别对应 \(3^3, 3 \cdot 3^2, \binom{3}{2}3^1\)。）

（4）由 \(A = 3\left(E + \dfrac{N}{3}\right)\) 及 \(N^3 = O\)，对 \(X = \dfrac{N}{3}\) 用 \((E + X)^{-1} = E - X + X^2\)（因 \(E = (E + X)(E - X + X^2)\)）：

\[ A^{-1} = \frac{1}{3}\left(E - \frac{N}{3} + \frac{N^2}{9}\right) = \frac{1}{3}E - \frac{1}{9}N + \frac{1}{27}N^2 = \frac{1}{27}\begin{pmatrix}9 & -3 & 1\\ 0 & 9 & -3\\ 0 & 0 & 9\end{pmatrix}. \]

把 \(A\) 乘回即可验证 \(A^{-1}A = E\)：\(N, N^2, N^3\) 的系数两两抵消。

（5）取

\[ f(x) = (x - 3)^3 = x^3 - 9x^2 + 27x - 27, \]

即 \(a = -9\)，\(b = 27\)，\(c = -27\)，则

\[ f(A) = (A - 3E)^3 = N^3 = O. \]

再说明次数不能再低：\(A\) 的特征多项式为 \((x - 3)^3\)，极小多项式与特征多项式有相同的根，故极小多项式必为 \((x - 3)^k\)（\(k = 1, 2, 3\)）；而 \((A - 3E)^2 = N^2 \ne O\)、\(A - 3E = N \ne O\)，所以 \(k = 3\)，\((x - 3)^3\) 正是极小多项式，它是零化 \(A\) 的最低次多项式。

答案（1）\(A^2 = \begin{pmatrix}9 & 6 & 1\\ 0 & 9 & 6\\ 0 & 0 & 9\end{pmatrix}\)；（2）\(A^3 = \begin{pmatrix}27 & 27 & 9\\ 0 & 27 & 27\\ 0 & 0 & 27\end{pmatrix}\)；（3）\(A^{100} = \begin{pmatrix}3^{100} & 100 \cdot 3^{99} & 4950 \cdot 3^{98}\\ 0 & 3^{100} & 100 \cdot 3^{99}\\ 0 & 0 & 3^{100}\end{pmatrix}\)；（4）\(A^{-1} = \dfrac{1}{27}\begin{pmatrix}9 & -3 & 1\\ 0 & 9 & -3\\ 0 & 0 & 9\end{pmatrix}\)；（5）\(f(x) = (x - 3)^3 = x^3 - 9x^2 + 27x - 27\)（即 \(a = -9\)，\(b = 27\)，\(c = -27\)）。

考点 矩阵幂与多项式。

易错点 二项式展开须保证参与的矩阵可交换；幂零与零矩阵不是同一概念。

7.（10 分）

把元素全部模 2 来看。记 \(\bar{a}\) 为整数 \(a\) 模 2 的余数，\(\bar{A} = (\bar{a}_{ij})\)。当 \(i > j\) 时 \(i + j \ge 2 + 1 = 3\)，故 \((i + j)!\) 含因子 2，故 \(\bar{a}_{ij} = 0\)；当 \(i = j\) 时 \(a_{ii} = 2021 = 2 \times 1010 + 1\) 为奇数，故 \(\bar{a}_{ii} = 1\)。于是 \(\bar{A}\) 是主对角线全为 1 的上三角矩阵，从而 \(\det \bar{A} = 1\)。

行列式是各元素的整系数多项式，取模 2 与取行列式可交换，即

\[ |A| \equiv \det \bar{A} = 1 \pmod 2. \]

所以 \(|A|\) 是奇数，特别地 \(|A| \ne 0\)。\(\square\)

（可任取 \(n\) 检验：\(n = 2\) 时 \(|A| = 4084435\)，为奇数。）

考点 行列式、矩阵幂与多项式。

易错点 交换两行变号；倍乘一行才提取一个因子；余子式须带 \((-1)^{i+j}\)。

8.（10 分）

由矩阵的标准形理论，\(\operatorname{rank} A = r\) 意味存在可逆矩阵 \(P, Q\) 使

\[ PAQ = J := \begin{pmatrix}E_r & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}. \]

（把 \(A\) 经初等行、列变换化为标准形即可得到这样的 \(P, Q\)，\(J\) 的左上角是 \(r\) 阶单位阵。）由此 \(A = P^{-1}JQ^{-1}\)。

构造。 取

\[ B = QJQ^{-1}, \qquad C = P^{-1}JP. \]

\(B\) 是 \(J\) 的相似变换、\(C\) 也是（\(C = P^{-1}JP\)），乘可逆矩阵不改变秩，而 \(r(J) = r\)，故

\[ r(B) = r(J) = r, \qquad r(C) = r(J) = r, \]

且 \(B, C\) 都是 \(n\) 阶实方阵，符合要求。

验证 \(AB = CA\)。注意 \(J^2 = J\)（\(J\) 是幂等阵），且 \(PP^{-1} = QQ^{-1} = E\)：

\[ AB = P^{-1}JQ^{-1} \cdot QJQ^{-1} = P^{-1}J^2Q^{-1} = P^{-1}JQ^{-1} = A, \]

\[ CA = P^{-1}JP \cdot P^{-1}JQ^{-1} = P^{-1}J^2Q^{-1} = P^{-1}JQ^{-1} = A. \]

两个乘积都等于 \(A\) 本身，当然相等，即 \(AB = CA\)。故所求的 \(B, C\) 存在。\(\square\)

注 构造的要害是让 \(AB\) 与 \(CA\) 都等于 \(A\)：把 \(A\) 写成 \(P^{-1}JQ^{-1}\) 后，分别用 \(QJQ^{-1}\)、\(P^{-1}JP\) 去“抵消”两侧的因子。

考点 矩阵方程、秩与空间维数。

易错点 逆矩阵不能随意跨过其他因子；只可在同侧作相应运算。

第三部分：知识点总结

答案与考点

题号 答案要点 主要考点
1 （15）\(n\) 阶三对角行列式：\(D_n=(6^{n+1}-1)/5\)（\(D_1=7,D_2=43\)）。 行列式
2 （10）逆矩阵、伴随与行列式：\(\|A^{*}-2E\|=-1\)。 伴随矩阵
3 （10）幂等矩阵的秩：\(r(A)+r(A-E)=n\)（用 \(\operatorname{Im}\)/\(\ker\) 夹逼）。 矩阵幂与多项式、秩与空间维数
4 （20）齐次方程组：\(r(A)=3\)，\(X=t(-1,-2,-1,1)^{\mathrm{T}}\)。 线性方程组、秩与空间维数、初等变换
5 （10）伴随矩阵定 \(\|A\|\) 并解矩阵方程：\(\|A\|=1\)，\(B=\begin{pmatrix}4&0&0\\0&4&0\\1&0&4\end{pmatrix}\)。 伴随矩阵、矩阵方程
6 （25）\(3E+N\)（\(N\) 幂零）的二项式展开：\(A^{2},A^{3},A^{100}\)、\(A^{-1}\)，零化多项式 \(f=(x-3)^{3}\)。 矩阵幂与多项式
7 （10）行列式取模 2：\(\|A\|\equiv1\pmod 2\)，故 \(\|A\|\neq0\)。 行列式、矩阵幂与多项式
8 （10）标准形构造：\(A=P^{-1}JQ^{-1}\)，取 \(B=QJQ^{-1}\)、\(C=P^{-1}JP\)，得 \(AB=CA=A\)。 矩阵方程、秩与空间维数

复习要点

  • 行列式：优先用行、列倍加制造零元；三对角型按首行展开建立递推，并核对初值。
  • 伴随矩阵：\(AA^*=A^*A=|A|E\)；\(|A^*|=|A|^{n-1}\)；可逆时 \(A^*=|A|A^{-1}\)。
  • 矩阵幂与多项式：由已知的矩阵多项式关系降低幂次；秩一矩阵 \(uv^{\mathsf T}\) 满足 \((uv^{\mathsf T})^m=(v^{\mathsf T}u)^{m-1}uv^{\mathsf T}\)。
  • 秩与空间维数：\(r(XY)\le\min\{r(X),r(Y)\}\)，\(r(X+Y)\le r(X)+r(Y)\)；可逆初等变换不改变秩。
  • 线性方程组：\(r(A)<r(A\mid b)\) 时无解；两秩相等时有解，自由参数个数为 \(n-r(A)\)。
  • 初等变换：行变换对应左乘初等矩阵，列变换对应右乘初等矩阵，连续操作按实际次序组合。
  • 矩阵方程：\(AX=B\) 左乘 \(A^{-1}\)，\(XA=B\) 右乘 \(A^{-1}\)；先移项因式分解，再判断可逆性。

易错点清单

  • 交换两行变号；倍乘一行才提取一个因子；余子式须带 \((-1)^{i+j}\)。
  • 先判断阶数与可逆性，不能把伴随矩阵当作转置。
  • 二项式展开须保证参与的矩阵可交换；幂零与零矩阵不是同一概念。
  • 秩是最大非零子式的阶数；区分零空间、列空间与行空间。
  • 含参消元在除以参数前先分情形；通解写成特解加齐次通解。
  • 行、列操作混用时要区分作用侧；同侧变换的先后次序不能随意交换。
  • 逆矩阵不能随意跨过其他因子；只可在同侧作相应运算。

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