2026–2027 学年微积分（甲）Ⅰ期中模拟卷
来源：2026–2027 学年云峰学园第一党支部微积分（甲）Ⅰ期中模拟试题，杨立命题。考试时间 120 分钟，正题满分 100 分，附加题 5 分。
第一部分：题目
1 .
求极限：（12 分）
\[\text{（1）}\ \lim_{x\to0}\frac{1}{x^3}\left[\left(\frac{2+\cos x}{3}\right)^x-1\right]; \qquad \text{（2）}\ \lim_{x\to-\infty}\frac{x+1}{\sqrt{x^2-\sin x+1}+\sqrt{x^2+\sin x+1}}.\]
2 .
求极限：（12 分）
\[\text{（1）}\ \lim_{n\to\infty}n\tan\!\left(\pi\sqrt{n^2+2026}\right); \qquad \text{（2）}\ \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n(n^k+1)^{-1/k}.\]
3 .
若极限 \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{4x^3+ax^2+x}+bx^{3/2}}{\sqrt{cx+1}}\) 存在，求 \(a,b,c\) 满足的条件并求该极限值。（10 分）
4 .
讨论 \(\displaystyle f(x)=\frac{e+e^{1/x}}{e-e^{1/x}}\cdot\frac{x^2-1}{\sin(x+1)}\) 的所有间断点，并指出它们是第几类间断点。（10 分）
5 .
化简 \(\displaystyle f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{x^2+x[x]e^{nx}}{1+e^{nx}}\ (x\in\mathbb R)\)，分析 \(f(x)\) 的连续性和可导性，其中 \([x]\) 表示对 \(x\) 向下取整。（10 分）
6 .
设 \(\begin{cases}x=t^2+t,\\e^{t+y}+ty-1=0\end{cases}\) 确定函数 \(y=y(x)\)，求 \(\displaystyle\left.\frac{d^2x}{dy^2}\right|_{t=0}\)。（10 分）
7 .
设 \(f_n(x)=(x-\pi)^ne^{2x}\cos x\)，求 \(f_n^{(n)}(\pi)\ (n\in\mathbb N_+)\)。（8 分）
8 .
已知心形线 \(r=2(1+\cos\theta)\ (0\le\theta<2\pi)\)，是否存在曲线上的一点，该点处的切线和极半径垂直。若存在，求出该点坐标和该点处切线的方程（均在直角坐标系下给出）；若不存在，请说明理由。（8 分）
9 .
设 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，\(x_1,x_2,\ldots,x_n\) 是 \([a,b]\) 上的一个点列，求 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac1n\sum_{k=1}^ne^{f(x_k)}}\)。（5 分）
10 .
从以下 A/B 两个问题中选择一个作答，如都作答则取高分计入总分。（5 分） A. 设 \(f(x)\) 连续，\(f'(0)\) 存在。对于任意 \(x,y\in\mathbb R\)，
\[f(x+y)=\frac{f(x)+f(y)}{1-4f(x)f(y)}.\] 证明 \(f(x)\) 在 \(\mathbb R\) 上可导。
B. 设 \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) 为常数，记
\[f(x)=\sum_{k=1}^na_k\sin kx,\qquad g(x)=\sum_{j=1}^na_{n-j+1}\sin jx.\] 已知 \(|f(x)|\le|\sin x|\)，\(|g(x)|\le|\sin x|\)，求证
\[\left|\sum_{k=1}^na_k\right|\le\frac{2}{n+1}.\] 【提示：考虑 \(f'(0),g'(0)\)。】
11 .
已知数列 \(\{x_n\}\) 满足 \(x_n\in(0,\frac\pi2)\)，\(x_1=\frac\pi4\)，\(\sin x_n=x_n\cos x_{n+1}\)。（5 分） （1）证明 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n\) 存在并求其值。
（2）求 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(\cos x_{n+1})^{1/x_n^2}\)。
12 .
设函数 \(f(x)\) 满足对于任意 \(x\in[a,b]\)，都有 \(f(x)\in[a,b]\)。且存在常数 \(k\in(0,1)\)，对于任意 \(x_1,x_2\in[a,b]\)，都有 \(|f(x_2)-f(x_1)|\le k|x_2-x_1|\)。证明：（5 分） （1）存在唯一 \(\xi\in[a,b]\) 使得 \(f(\xi)=\xi\)。
（2）对于任意 \(x_0\in[a,b]\)，定义 \(x_{n+1}=f(x_n)\ (n\in\mathbb N)\)。证明 \(\{x_n\}\) 收敛且 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=\xi\)。
附加题 .
设奇函数 \(f(x)\) 在 \([-1,1]\) 上二阶可导，证明：存在 \(\xi\in(-1,1)\) 使得 \(f''(\xi)-f'(\xi)+f(1)=0\)。（5 分）
第二部分：详细解析
1. 极限计算
（1）记 \(u=x\ln\frac{2+\cos x}{3}\)，则 \(u\sim-x^3/6\)。因此 \[ \lim_{x\to0}\frac{e^u-1}{x^3} =\lim_{x\to0}\frac{e^u-1}{u}\frac{u}{x^3}=-\frac16. \] （2）分子、分母同除以 \(-x>0\)，得 \[ \lim_{x\to-\infty}\frac{-1-1/x}{\sqrt{1-\sin x/x^2+1/x^2}+\sqrt{1+\sin x/x^2+1/x^2}}=-\frac12. \]
2. 数列极限
（1）利用正切函数的周期性和有理化， \[ n\tan\!\left(\pi\sqrt{n^2+2026}\right) =n\tan\frac{2026\pi}{\sqrt{n^2+2026}+n}\longrightarrow1013\pi. \] （2）由 \(n^k<n^k+1\le(n+1)^k\)，有 \[ \frac1{n+1}\le(n^k+1)^{-1/k}<\frac1n. \] 求和得 \(\frac n{n+1}\le\sum_{k=1}^n(n^k+1)^{-1/k}<1\)，由夹逼定理，极限为 \(1\)。
3. 参数与有限极限
为使根式在充分大的 \(x\) 处有意义，须有 \(c\ge0\)。又 \[ \sqrt{4x^3+ax^2+x}=2x^{3/2}+\frac a4x^{1/2}+O(x^{-1/2}). \] 若 \(c>0\)，分母为 \(\sqrt c\,x^{1/2}(1+o(1))\)，故有限极限存在当且仅当 \(b=-2\)，此时极限为 \(a/(4\sqrt c)\)，\(a\) 任意。
若 \(c=0\)，分母为 \(1\)，须先有 \(b=-2\)，再有 \(a=0\)。此时 \[ \sqrt{4x^3+x}-2x^{3/2} =\frac{x}{\sqrt{4x^3+x}+2x^{3/2}}\longrightarrow0. \] 因此条件为 \(b=-2,c>0,a\in\mathbb R\)，或 \(a=c=0,b=-2\)；对应极限分别为 \(a/(4\sqrt c)\) 和 \(0\)。
4. 间断点分类
可能的间断点为 \(0,1,k\pi-1\ (k\in\mathbb Z)\)。
- 在 \(x=0\)，右极限为 \(1/\sin1\)，左极限为 \(-1/\sin1\)，是第一类跳跃间断点。
- 在 \(x=1\)，由 \(1-e^{1/x-1}\sim x-1\)，得 \(\lim_{x\to1}f(x)=4/\sin2\)，是第一类可去间断点。
- 在 \(x=-1\)，由 \((x+1)/\sin(x+1)\to1\)，得极限 \(-2(e+e^{-1})/(e-e^{-1})\)，是第一类可去间断点。
- 在 \(x=k\pi-1\ (k\ne0)\)，其余因子均有限且非零，而 \(\sin(x+1)\to0\)，故 \(|f(x)|\to+\infty\)，是第二类无穷间断点。
5. 极限定义函数的连续性与可导性
分别考虑 \(x<0,x=0,x>0\)，得 \[ f(x)=\begin{cases}x^2,&x\le0,\\x\lfloor x\rfloor,&x>0.\end{cases} \] 在 \(x=0\)，左右极限均为 \(0\)，左右导数也均为 \(0\)。在 \(0<x<1\) 上 \(f(x)=0\)；在 \((k,k+1)\) 上 \(f(x)=kx\)，其中 \(k\in\mathbb N_+\)。
对正整数 \(k\)，左极限为 \(k(k-1)\)，右极限及函数值为 \(k^2\)，故是跳跃间断点，不可导。其余各点连续且可导，并且 \[ f'(x)=\begin{cases}2x,&x<0,\\0,&0\le x<1,\\k,&k<x<k+1,\ k\in\mathbb N_+.\end{cases} \]
6. 参数二阶导数
由 \(t=0\) 得 \(x=0,y=0\)，且 \(x'=2t+1,x''=2\)。对 \(e^{t+y}+ty-1=0\) 关于 \(t\) 求导， \[ e^{t+y}(1+y')+y+ty'=0, \] 故 \(y'(0)=-1\)。再次求导， \[ e^{t+y}(1+y')^2+e^{t+y}y''+2y'+ty''=0, \] 得 \(y''(0)=2\)。于是 \[ \left.\frac{d^2x}{dy^2}\right|_{t=0} =\left.\frac{x''y'-x'y''}{(y')^3}\right|_{t=0}=4. \]
7. 高阶导数
由莱布尼茨公式，\(n\) 阶求导后在 \(x=\pi\) 处，只有 \((x-\pi)^n\) 被求导 \(n\) 次的一项不为零。因此 \[ f_n^{(n)}(\pi)=n!e^{2\pi}\cos\pi=-n!e^{2\pi}. \]
8. 心形线的切线
令 \(\boldsymbol r(\theta)=r(\theta)(\cos\theta,\sin\theta)\)，则 \[ \boldsymbol r\cdot\boldsymbol r'=rr'. \] 在非原点处，切线与极半径垂直等价于 \(r'=0\)。由 \(r'=-2\sin\theta\)，得 \(\theta=0\) 或 \(\pi\)。当 \(\theta=\pi\) 时 \(r=0\)，极半径无方向，舍去。
当 \(\theta=0\) 时，对应点 \((4,0)\)，且 \[ x'(0)=0,\qquad y'(0)=4\ne0. \] 故存在满足条件的点 \((4,0)\)，其切线为 \(x=4\)。
9. 有界性与夹逼定理
由闭区间连续函数的有界性，存在 \(m,M\)，使得 \(m\le f(x)\le M\)。于是 \[ e^m\le\frac1n\sum_{k=1}^ne^{f(x_k)}\le e^M, \qquad e^{m/n}\le\sqrt[n]{\frac1n\sum_{k=1}^ne^{f(x_k)}}\le e^{M/n}. \] 两端均趋于 \(1\)，故所求极限为 \(1\)。
10. 函数方程与三角多项式
A. 令 \(x=y=0\)，得 \(f(0)[1+4f^2(0)]=0\)，故 \(f(0)=0\)。任取 \(x\in\mathbb R\)，由函数方程得 \[ \frac{f(x+h)-f(x)}h =\frac{f(h)}h\cdot\frac{1+4f^2(x)}{1-4f(x)f(h)}. \] 当 \(h\to0\) 时，\(f(h)\to0\)，\(f(h)/h\to f'(0)\)，所以 \[ f'(x)=f'(0)[1+4f^2(x)]. \] 因此 \(f\) 在 \(\mathbb R\) 上可导。
B. 由 \(f(0)=g(0)=0\) 及题设不等式，得 \(|f'(0)|\le1,|g'(0)|\le1\)。又 \[ f'(0)=\sum_{k=1}^nka_k,\qquad g'(0)=\sum_{k=1}^n(n-k+1)a_k, \] 故 \[ \left|\sum_{k=1}^na_k\right| =\frac{|f'(0)+g'(0)|}{n+1}\le\frac2{n+1}. \]
11. 隐式递推数列
（1）对 \(0<x<\pi/2\)，有 \(\tan x>x\)，所以 \[ \cos x_{n+1}=\frac{\sin x_n}{x_n}>\cos x_n. \] 余弦函数在该区间严格递减，故 \(x_{n+1}<x_n\)。数列有下界 \(0\)，因而收敛。设极限为 \(A\in[0,\pi/4]\)，取极限得 \(\sin A=A\cos A\)。若 \(A>0\)，则与 \(\tan A>A\) 矛盾，故 \(A=0\)。
（2）由 \(x_n\to0\)， \[ \ln\left[(\cos x_{n+1})^{1/x_n^2}\right] =\frac{\ln(\sin x_n/x_n)}{x_n^2}\longrightarrow-\frac16, \] 故所求极限为 \(e^{-1/6}\)。
12. 压缩映射与不动点
（1）由 Lipschitz 条件可知 \(f\) 连续。令 \(F(x)=f(x)-x\)，则 \(F(a)\ge0,F(b)\le0\)。由介值定理（含端点为零的情形），存在 \(\xi\in[a,b]\) 使得 \(f(\xi)=\xi\)。
若另有 \(f(\eta)=\eta\)，则 \[ |\xi-\eta|=|f(\xi)-f(\eta)|\le k|\xi-\eta|. \] 由 \(k<1\)，得 \(\xi=\eta\)，故不动点唯一。
（2）由 \(f([a,b])\subset[a,b]\)，迭代始终有定义，且 \[ |x_n-\xi|\le k|x_{n-1}-\xi|\le\cdots\le k^n|x_0-\xi|\longrightarrow0. \] 故 \(x_n\to\xi\)。
附加题. 中值定理与辅助函数
由奇性，\(f(0)=0,f(-1)=-f(1)\)。分别在 \([0,1]\) 与 \([-1,0]\) 上用拉格朗日中值定理，得 \(\theta_1\in(0,1)\)、\(\theta_2\in(-1,0)\)，满足 \[ f'(\theta_1)=f'(\theta_2)=f(1). \] 令 \(F(x)=e^{-x}[f'(x)-f(1)]\)，则 \(F(\theta_1)=F(\theta_2)=0\)。由罗尔定理，存在 \(\xi\in(\theta_2,\theta_1)\)，使得 \[ 0=F'(\xi)=e^{-\xi}[f''(\xi)-f'(\xi)+f(1)]. \] 因此结论成立。
第三部分：知识点总结
答案与考点
| 题号 | 答案或结论 | 考点 |
|---|---|---|
| 1 | \(-1/6\)；\(-1/2\) | 等价无穷小、无穷远极限 |
| 2 | \(1013\pi\)；\(1\) | 周期性、有理化、夹逼 |
| 3 | \(b=-2,c>0\) 时为 \(a/(4\sqrt c)\)；\(a=c=0,b=-2\) 时为 \(0\) | 参数消项、有限极限 |
| 4 | \(0\) 跳跃；\(\pm1\) 可去；\(k\pi-1\ (k\ne0)\) 无穷 | 间断点分类 |
| 5 | 正整数处不连续、不可导，其余点连续可导 | 取整函数、左右导数 |
| 6 | \(4\) | 参数与隐函数二阶求导 |
| 7 | \(-n!e^{2\pi}\) | 莱布尼茨公式 |
| 8 | \((4,0)\)；\(x=4\) | 极坐标切线 |
| 9 | \(1\) | 连续函数有界性、夹逼 |
| 10 | A：\(f'(x)=f'(0)(1+4f^2(x))\)；B：\(2/(n+1)\) | 导数定义、系数求和 |
| 11 | \(0\)；\(e^{-1/6}\) | 单调有界、幂指极限 |
| 12 | 唯一不动点，迭代收敛于该点 | 压缩映射 |
| 附加题 | 存在 \(\xi\in(-1,1)\) 满足题设等式 | 中值定理、辅助函数 |
复习要点
- 幂指极限先取对数；出现相减消项时，保留足够阶数。
- 间断点检查原表达式的全部无定义点，分别计算左右极限。
- 参数二阶求导须区分 \(d^2x/dy^2\) 与 \(d^2y/dx^2\)。
- 极坐标切线同时检查竖直切线与原点处的退化情形。
- 数列先证收敛，再对递推式取极限。
- 出现 \(f''-f'\) 时，可考虑 \(e^{-x}(f'-C)\)。
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