浙江大学《线性代数（甲）》历年秋冬学期期中试卷 总结（9 套）

历年卷
期中
复习指南
跨年度期中复习总结与试卷索引。
作者

easoncyy（整理）

发布于

2026年10月27日

汇总对象：9 套秋冬学期期中卷（2016-2017、2017-2018、2018-2019、2019-2020、2020-2021、2021-2022、2022-2023、2024-2025、2025-2026） 原始 PDF：线性代数甲-期中-秋冬-题目卷.pdf、线性代数甲-期中-秋冬-解析卷.pdf

一、套卷总览

学年学期 题量 卷面满分 分值分布 归档试卷
2025-2026 秋冬 9 题（填空 7 + 证明 2） 100 填空共 85 + 证明共 15（未逐题标分） 2025-2026秋冬《线性代数（甲）》期中-归档
2024-2025 秋冬 21 题 原卷未印分值 — 2024-2025秋冬《线性代数（甲）》期中-归档
2022-2023 秋冬 8 题 原卷未印分值 — 2022-2023秋冬《线性代数（甲）》期中-归档
2021-2022 秋冬 8 题 110 15+10+10+20+10+25+10+10 2021-2022秋冬《线性代数（甲）》期中-归档
2020-2021 秋冬 8 题 100 10+10+15+15+15+20+8+7 2020-2021秋冬《线性代数（甲）》期中-归档
2019-2020 秋冬 8 题 100 10+10+15+20+15+20+5+5 2019-2020秋冬《线性代数（甲）》期中-归档
2018-2019 秋冬 8 题 100 15+15+15+15+15+10+7+8 2018-2019秋冬《线性代数（甲）》期中-归档
2017-2018 秋冬 7 题 103 15+20+20+15+15+8+10 2017-2018秋冬《线性代数（甲）》期中-归档
2016-2017 秋冬 7 题 100 10+15+15+15+15+15+15 2016-2017秋冬《线性代数（甲）》期中-归档

体例：秋冬期中的题量在 7–8 题（2024-2025 为大题量小分值卷，共 21 题；2025-2026 改为 7 填空 + 2 证明）。2016–2022 六套以”大题 + 分值”为主，证明题固定 1–3 道；2024 以后改为填空/小问密集卷，计算速度成为主要区分点。

二、高频考点统计

考点 出现的套数 典型形式
行列式计算与证明 9 / 9 三对角递推 \(D_n=aD_{n-1}+bD_{n-2}\)、循环行列式、行和型、含 \(\cdots/\vdots\) 的分块递推，常配”用归纳法证明通项”
含参线性方程组解的讨论 9 / 9 化增广矩阵→找临界参数（常见 \(\lambda=1,-2\)、\(k=1,-2\)、\(a=0,1\)）→分无解/唯一解/无穷多解并写通解
秩的理论（定义、等价刻画、不等式） 9 / 9 子式刻画 \(r(A)\le r\iff\) 所有 \(r+1\) 阶子式为 0；Frobenius/Sylvester；\(r(AB-CD)\le r(A-C)+r(B-D)\)；\(r(A)=r(AB)\iff A=ABC\)
伴随矩阵 8 / 9 \(|A^{*}|=|A|^{n-1}\)、\((A^{*})^{*}=|A|^{n-2}A\)、\(r(A^{*})\in\{n,1,0\}\)、\(A^{*}BA=\dots\) 型矩阵方程
矩阵方程 7 / 9 \(AX=A+2X\)、\(XA=B\)、\(AXB=C\)、\(A^{*}BA=2BA-12E\)
分块矩阵 7 / 9 分块可逆性证明、分块求逆、分块行列式 \(|M|=|AB-CD|\)、矩阵行列式引理 \(|A+\boldsymbol\alpha\boldsymbol\beta^{\mathrm{T}}|=|A|+\boldsymbol\beta^{\mathrm{T}}A^{*}\boldsymbol\alpha\)
秩 1 / 幂零矩阵与矩阵多项式 6 / 9 \(A=\boldsymbol\alpha\boldsymbol\beta^{\mathrm{T}}\Rightarrow A^{2}=(\operatorname{tr}A)A\)；\((3E+N)^{k}\) 二项式展开；\(A^{100}\)、\(A^{-1}\)、零化多项式
初等变换与标准形 6 / 9 等价标准形 \(PAQ\)、\(P^{-1}JQ^{-1}\) 构造、初等行变换 \(\equiv\) 左乘初等矩阵、\(A\) 可逆 \(\iff |A|\ne0\)
内积与欧氏空间 1 / 9 只有 2024-2025 秋冬涉及（内积公理判定、施密特正交化、过渡矩阵）

三、命题规律（秋冬期中）

  1. 第 1 题永远是行列式：9 套全部以行列式开篇，且以 \(n\) 阶递推/循环/行和型为主，往往要求”求出 \(D_n\) 并用数学归纳法证明”，是拉开差距的题。
  2. “含参方程组 + 解的结构”是稳定大题：几乎每套都有一道 15–20 分的讨论题，并常与”基础解系/通解/两个方程组的公共解”联动。
  3. 证明题集中在”秩”上：秩的定义（子式）、秩的等价刻画（\(r(A)=r(AB)\iff A=ABC\)、\(r(AB)=r(BA)\) 类）、秩不等式（Frobenius、\(r(AB-CD)\)、列空间维数不等式）几乎构成全部证明题，套路是”构造矩阵 + 分块初等变换 + 秩-零化度”。
  4. 伴随矩阵贯穿始终：求 \(|A^{*}|\)、反求 \(A\)、解 \(A^{*}BA=\dots\) 型方程、二次伴随 \((A^{*})^{*}\)，都建立在 \(A^{*}=|A|A^{-1}\) 与秩三分之上。
  5. 分块矩阵是”结构性工具”：分块求逆、分块行列式恒等式、\(QMQ\) 分块对角化，常在一道题里同时考”可逆性证明 + 求逆 + 秩”。
  6. 新旧风格分界在 2024：2024-2025 与 2025-2026 两套转向”小分值、多题量、填空为主”，覆盖到内积、置换矩阵、相抵等细节；2024 以前的六套则是”少题大分”，单题 15–25 分，重推导与证明。

四、逐题答案要点

2025-2026 秋冬（9 题 / 100 分）

  1. （填空）非齐次方程组有解且通解含 2 个任意常数：\(p=2,\ q=3,\ r=2\)，\(X=(2,-3,0,0)^{\mathrm{T}}+t_1(-2,1,1,0)^{\mathrm{T}}+t_2(4,-5,0,1)^{\mathrm{T}}\)。
  2. （填空）相抵与秩的讨论：\(a=-1\) 或 \(a=-\frac23\) 时 \(A,B\) 不相抵；\(a=1\) 时同秩为 2；秩为 3 时解 \(x=(1,-1,1)^{\mathrm{T}}\)。
  3. （填空）行列式按第一列展开：\(D=4\)。
  4. （填空）由代数余子式反求参数：\(x=-1,\ z=1\)。
  5. （填空）\(|A^{*}|=|A|^{n-1}\)：\(x\neq0\) 时 \(A\) 可逆，\(|A|=\sqrt[3]{x}\)。
  6. （填空）初等/置换矩阵的幂：\(PAQ^{2025}\) 交换第 1、3 列；\(P^{1025}AQ^{1000}=P^{1025}A\)（系数 2050）。
  7. （填空）置换矩阵的正交性：\(A^{\mathrm{T}}A=E\)。
  8. （证明）秩 1 矩阵 \(A=\boldsymbol\alpha\boldsymbol\beta^{\mathrm{T}}\)：\(A^{2}=\boldsymbol\alpha(\boldsymbol\beta^{\mathrm{T}}\boldsymbol\alpha)\boldsymbol\beta^{\mathrm{T}}=A\) 的条件即 \(\boldsymbol\beta^{\mathrm{T}}\boldsymbol\alpha=1\)。
  9. （证明）\(BC=O\) 与零空间交集：由 \(\dim\ker A+\dim\ker B>n\) 得存在 \(X\neq O\) 使 \(AX=BX=O\)。

2024-2025 秋冬（21 题，原卷未印分值）

  1. 伴随矩阵 + 矩阵方程 \(ABA^{-1}=BA^{-1}+3E\)：\(B=3(A-E)^{-1}A=\begin{pmatrix}6&0&0&0\\0&6&0&0\\6&0&6&0\\0&3&0&-1\end{pmatrix}\)。
  2. 向量组的秩与极大无关组：秩 3，取 \(\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,\boldsymbol\alpha_3\)，\(\boldsymbol\alpha_4=\boldsymbol\alpha_1+2\boldsymbol\alpha_2+\boldsymbol\alpha_3\)。
  3. 非齐次解的结构：\(X=(2,3,4,5)^{\mathrm{T}}+k(3,4,5,6)^{\mathrm{T}}\)。
  4. 欧氏空间过渡矩阵 + 施密特正交化：\(P=\begin{pmatrix}1&4&2\\1&-7&-4\\-7&7&5\end{pmatrix}\)，再对基（Ⅰ）作标准正交化。
  5. \(n\) 阶反对称矩阵可逆的必要条件是 \(n\) 为偶数；不充分（零矩阵即反例）。
  6. 矩阵方程 \(AX=A+2X\)：\(X=\begin{pmatrix}3&-8&-6\\2&-9&-6\\-2&12&9\end{pmatrix}\)。
  7. 向量组的秩与极大无关组：秩 3，取 \(\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,\boldsymbol\alpha_4\)。
  8. \(P^3\) 中两组基的过渡矩阵与坐标变换：\(P=A^{-1}B\)，\(Y=(-\frac{105}{4},\frac{37}{2},-\frac{59}{4})^{\mathrm{T}}\)。
  9. \(\mathbb{R}^2\) 上两种内积规定：(1) 不构成欧氏空间（取 \(\boldsymbol\alpha=(1,-1)\) 时内积为 \(-2\)）；(2) 构成。
  10. 证明 \(\boldsymbol\beta_i=S-\boldsymbol\alpha_i\) 与 \(\boldsymbol\alpha\) 组同秩：由 \(S=\frac{1}{m-1}\sum\boldsymbol\beta_i\) 得互相线性表示。
  11. \(A+B\) 可逆 \(\Rightarrow A^{-1}+B^{-1}\) 可逆：\((A^{-1}+B^{-1})^{-1}=B(A+B)^{-1}A\)。
  12. 四元非齐次方程组：\(r=2<4\)，通解 \((-1+4s-t,\ 1-2s-2t,\ s,\ t)\)。
  13. 4 阶行列式（矩阵行列式引理）：\(x^{2}y^{2}\)。
  14. \(n\) 阶循环行列式：\(D_n=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\cdot\frac{n^{n-1}(n+1)}{2}\)。
  15. 范德蒙德型方程组：(1) \(r(A)=3<r(\bar A)=4\)，无解；(2) 全部解 \(x=(t,1,-t)^{\mathrm{T}}\)。
  16. 证明循环置换行列式 \(D_n=(-1)^{n}\big[(x-1)^{n}-x^{n}\big]\)。
  17. 利用行列式的列线性性：值为 3。
  18. 含参方程组讨论：\(a\neq1\) 唯一解；\(a=1,b\neq-1\) 无解；\(a=1,b=-1\) 无穷多解。
  19. 特殊方程组（系数含 \(1+a_i\)）：在 \(\sum\frac{1}{a_i}\neq-1\) 时有唯一解 \(x_i=\frac{1}{a_i}\Big(b_i-\frac{\sum b_j/a_j}{1+\sum 1/a_j}\Big)\)。
  20. \(n+1\) 阶行列式：\(D_{n+1}=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\big(\sum b_k-1\big)\)。
  21. 证明”某行元素全为 1 \(\Rightarrow\) 全部代数余子式之和 \(=|A|\)“。

2022-2023 秋冬（8 题，原卷未印分值）

  1. 行列式计算：\(D_1=2560\)。
  2. 代数余子式的线性组合：\(4A_1+\cdots+(n+1)^{2}A_n=-\frac{n(n+3)}{2}(n+1)!\)。
  3. 含参方程组：\(\lambda\neq1,-2\) 时唯一解；\(\lambda=-2\) 时有无穷多解（含特解）；\(\lambda=1\) 时解为平面 \(x_1+x_2+x_3+x_4=1\)。
  4. 初等行变换化行阶梯形：阶梯头在第 1、3 列，\(r(A)=r(B)=2\)。
  5. 秩的定义与子式刻画（三小问）：\(r+1\) 阶子式全为零 \(\iff r(A)\le r\)；行倍加不改变秩。
  6. 伴随矩阵：(1) \(r(A^{*})=n/1/0\) 分情形；(2) \((A^{*})^{*}=|A|^{n-2}A\)；(3) 由 \(a_{pq}\neq0\) 得充要条件。
  7. 秩不等式：\(r(AB-CD)\le r(A-C)+r(B-D)\)（原卷注：题面 \(D\) 为笔误）。
  8. 归纳法 + Frobenius 秩不等式：\((n+1)r(A^{2})\le r(A^{n+2})+n\,r(A)\)。

2021-2022 秋冬（8 题 / 110 分）

  1. （15）\(n\) 阶三对角行列式：\(D_n=(6^{n+1}-1)/5\)（\(D_1=7,D_2=43\)）。
  2. （10）逆矩阵、伴随与行列式：\(|A^{*}-2E|=-1\)。
  3. （10）幂等矩阵的秩：\(r(A)+r(A-E)=n\)（用 \(\operatorname{Im}\)/\(\ker\) 夹逼）。
  4. （20）齐次方程组：\(r(A)=3\)，\(X=t(-1,-2,-1,1)^{\mathrm{T}}\)。
  5. （10）伴随矩阵定 \(|A|\) 并解矩阵方程：\(|A|=1\)，\(B=\begin{pmatrix}4&0&0\\0&4&0\\1&0&4\end{pmatrix}\)。
  6. （25）\(3E+N\)（\(N\) 幂零）的二项式展开：\(A^{2},A^{3},A^{100}\)、\(A^{-1}\)，零化多项式 \(f=(x-3)^{3}\)。
  7. （10）行列式取模 2：\(|A|\equiv1\pmod 2\)，故 \(|A|\neq0\)。
  8. （10）标准形构造：\(A=P^{-1}JQ^{-1}\)，取 \(B=QJQ^{-1}\)、\(C=P^{-1}JP\)，得 \(AB=CA=A\)。

2020-2021 秋冬（8 题 / 100 分）

  1. （10）三对角行列式递推：题面在 \((n-1,n)\) 处把 \(-3\) 印作 \(3\)（疑原卷笔误）；按 \(-3\) 计算 \(D_n=(3^{n+1}-1)/2\)。
  2. （10）伴随与相似的行列式：\(|A+3E|=\frac{35}{2}\)。
  3. （15）秩与解空间 \(N(A^{\mathrm{T}})\)：\(t=6\)；\(r(B)\) 可取 1 或 2。
  4. （15）Cramer 法则：唯一解 \((x_1,x_2)=(1,1)\)（原卷第三式印作 \(cx_1+bx_2+b=0\)，系数和不为 0，疑笔误）。
  5. （15）\(|A^{*}|=|A|^{n-1}\) 与矩阵方程：\(B=\begin{pmatrix}6&0&0&0\\0&6&0&0\\6&0&6&0\\0&3&0&-1\end{pmatrix}\)。
  6. （20）秩 1 矩阵的幂与多项式：\(f(x)=x^{2}-nx\)；\(A^{100}=n^{99}A\)；\((A+E)^{3}=E+(n^{2}+3n+3)A\)；\((A+E)^{-1}=E-\frac{A}{n+1}\)。
  7. （8）秩的等价刻画：\(r(A)=r(AB)\iff\) 存在 \(C\) 使 \(A=ABC\)。
  8. （7）等价标准形与对称分解：\(A=SP\)，其中 \(S=U^{-1}DU^{-\mathrm{T}}\) 对称、\(P=U^{\mathrm{T}}V^{-1}\) 可逆。

2019-2020 秋冬（8 题 / 100 分）

  1. （10）\(n\) 阶行列式递推：按末行展开 + 归纳得 \(D_n=(n+1)2^{n}\)。
  2. （10）秩 1 矩阵 \(A=\boldsymbol\alpha\boldsymbol\alpha^{\mathrm{T}}\) 与伴随矩阵：\(A^{*}=O\) 时值为 \(2^{n+2}+8\)。
  3. （15）秩相等与 \(AX=b\) 有解：\(a=\frac53,\ b=5\)。
  4. （20）含参方程组解的结构：\(a\neq0,1\) 唯一解；\(a=0\) 或 \(1\) 无解（无无穷多解情形）。
  5. （15）含参 4 阶矩阵的秩：\(k\neq0,1\Rightarrow4\)；\(k=0\Rightarrow3\)；\(k=1\Rightarrow1\)。
  6. （20）迹 \(\operatorname{tr}\) 的四条性质证明（含 \(\operatorname{tr}E_{ij}=\delta_{ij}\)）。
  7. （5）伴随矩阵与秩的夹逼：\(r(A)=n-1\)。
  8. （5）矩阵行列式引理：\(|A+\boldsymbol\alpha\boldsymbol\beta^{\mathrm{T}}|=|A|+\boldsymbol\beta^{\mathrm{T}}A^{*}\boldsymbol\alpha\)。

2018-2019 秋冬（8 题 / 100 分）

  1. （15）\(n\) 阶行列式（每行为 \(x\) 倍单位行加同一行向量）：\(D=x^{n-1}(x+\sum a_i)\)。
  2. （15）置换矩阵的行列式：\(|A|=\operatorname{sgn}\sigma=(-1)^{\tau(i_1i_2\cdots i_n)}\)。
  3. （15）含参 \(\lambda\) 方程组：\(\lambda\neq1,-2\) 唯一解 \(\frac{1}{\lambda+2}\)；\(\lambda=1\) 无穷多解；\(\lambda=-2\) 无解。
  4. （15）\(AX=A+2X\)（\(A\) 为全 1 矩阵）：\(X=A\)。
  5. （15）反对称 \(A\) 与 \(B=\operatorname{diag}(0,0,1,2)\)：由 \(Y^{\mathrm{T}}AY=0\) 得 \(x_3^{2}+2x_4^{2}=0\)，故 \(E+AB\) 可逆。
  6. （10）实对称阵的代数余子式：\(M_{ij}=M_{ji}\Rightarrow A_{ij}=A_{ji}\)。
  7. （7）分块阵秩不等式：取 \(Q=\begin{pmatrix}E&E\\E&-E\end{pmatrix}\) 使 \(QMQ\) 分块对角，等号成立。
  8. （8）\(B=E+AB\)：由 \((E-A)B=E\) 得 \(B\) 可逆且 \(BA=B-E=AB\)。

2017-2018 秋冬（7 题 / 103 分）

  1. （15）\(n\) 阶行列式（主对角 \(x\)、上 \(y\) 下 \(z\)）：\(D_n=\dfrac{z(x-y)^{n}+(-1)^{n+1}y(z-x)^{n}}{z-y}\)；\(y=z\) 时为 \((x-y)^{n-1}\big(x+(n-1)y\big)\)。
  2. （20）含参 \(k\) 方程组：\(k\neq1,-2\) 唯一解 \(x=\big(\frac{k-1}{k+2},-\frac{3}{k+2},-\frac{3}{k+2}\big)^{\mathrm{T}}\)；\(k=-2\) 无解；\(k=1\) 无穷多解（\(x_1+x_2+x_3=-2\)）。
  3. （20）矩阵方程 \(XA=B\)：\(X=BA^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\2&-2&-2\end{pmatrix}\)。
  4. （15）秩与齐次解空间（\(AB=O\)）：取 \(Ax=\theta\) 的基础解系 \(\xi_1,\dots,\xi_{n-r}\) 充作 \(B\) 的前 \(n-r\) 列。
  5. （15）秩 1 矩阵的分解与幂等：\(A=\boldsymbol a^{\mathrm{T}}\boldsymbol b\)，\(A^{2}=kA\)，\(k=\boldsymbol b\boldsymbol a^{\mathrm{T}}=\operatorname{tr}A\)。
  6. （8）列空间维数不等式：\(d\in C(A)\)，\(C(G)=C(A)+C(B)+\operatorname{span}\{c\}\)，故 \(R(G)\le R(A)+R(B)+1\)。
  7. （10）分块行列式恒等式：\(|M|=|AB-CD|\)（\(A\) 可逆时消元，不可逆时用 \(A(t)=A+tE\) 摄动）。

2016-2017 秋冬（7 题 / 100 分）

  1. （10）五阶数字行列式：\(D=2x(x-1)(x-2)=2x^{3}-6x^{2}+4x\)。
  2. （15）线性方程组通解（题面称”齐次”实为非齐次，4 方程 5 未知量）：\(x=(2,0,0,1,1)^{\mathrm{T}}+c_1(-1,1,1,0,0)^{\mathrm{T}}+c_2(12,-5,0,6,2)^{\mathrm{T}}\)。
  3. （15）叙述秩的定义 + 含参 \(\lambda\) 的 \(3\times4\) 矩阵求秩：\(\lambda\neq-1\) 时 \(r(A)=3\)；\(\lambda=-1\) 时 \(r(A)=2\)。
  4. （15）矩阵方程 \(AXB=C\)：\(X=A^{-1}CB^{-1}=\begin{pmatrix}-9&16\\-15&27\\14&-25\end{pmatrix}\)。
  5. （15）伴随矩阵方程 \(A^{*}BA=2BA-12E\)（\(|A|=-2\)，故 \(A^{*}=-2A^{-1}\)）：\(B=6(A+E)^{-1}=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&-12&6\\0&-6&6\end{pmatrix}\)。
  6. （15）分块矩阵 \(\begin{pmatrix}O&A\\B&C\end{pmatrix}\) 的可逆性证明并求逆：逆为 \(\begin{pmatrix}-B^{-1}CA^{-1}&B^{-1}\\A^{-1}&O\end{pmatrix}\)。
  7. （15）(1) 初等行变换 \(\equiv\) 左乘初等矩阵；(2) \(A\) 可逆 \(\iff |A|\neq0\)（三类初等矩阵逐类验证；必要性用 \(|XY|=|X||Y|\)，充分性用行阶梯形 \(U=PA\)）。

五、易错点清单

  • \(n\) 阶行列式：递推式必须写清”按哪一行/列展开”；用归纳法时要交代首值 \(D_1,D_2\)；循环行列式注意符号 \((-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\)。
  • 含参方程组：先算系数行列式找临界值，再逐值比较 \(r(A)\) 与 \(r(\bar A)\)；\(a=0\) 或 \(a=1\) 这类”两侧都临界”的情况最容易漏；有无穷多解时必须写全通解。
  • 伴随矩阵：\(|A^{*}|=|A|^{n-1}\) 与 \(A^{*}=|A|A^{-1}\) 只在 \(A\) 可逆时后者可用；\(r(A^{*})\) 的三分（\(n\)、\(1\)、\(0\)）中 \(r(A)=n-1\Rightarrow r(A^{*})=1\) 是重点。
  • 秩的理论题：熟练”分块初等变换不改变秩”、“秩-零化度”、Frobenius/Sylvester；写不等式证明时要给出构造（如取 \(Q=\begin{pmatrix}E&E\\E&-E\end{pmatrix}\)）。
  • 分块矩阵求逆：\(\begin{pmatrix}A&B\\O&C\end{pmatrix}^{-1}\) 与 \(\begin{pmatrix}O&A\\B&C\end{pmatrix}^{-1}\) 符号位置不同，务必回代验算。
  • 秩 1 / 幂零矩阵：\(A=\boldsymbol\alpha\boldsymbol\beta^{\mathrm{T}}\Rightarrow A^{k}=(\boldsymbol\beta^{\mathrm{T}}\boldsymbol\alpha)^{k-1}A\)；\((cE+N)^{-1}\) 用”有限项二项式”展开而不要求 \(N\) 幂零阶数错。
  • 矩阵行列式引理：\(|A+\boldsymbol\alpha\boldsymbol\beta^{\mathrm{T}}|=|A|(1+\boldsymbol\beta^{\mathrm{T}}A^{-1}\boldsymbol\alpha)=|A|+\boldsymbol\beta^{\mathrm{T}}A^{*}\boldsymbol\alpha\)，两种写法都要会。
  • 内积公理：判断”是否构成欧氏空间”必须逐条验正定性（找到反例向量即可）。

六、复习建议

  1. 把行列式练到”看到结构就知道方法”：三对角（递推）、循环（降阶后按列展开）、行和（提公因子）、范德蒙德（凑行列式）、含 \(\cdots\) 的分块递推（按末行展开 + 归纳）。
  2. 准备一套”含参方程组”标准答题流程，并在 15 分钟内完成”行化简 + 分类 + 通解书写”。
  3. 秩的证明题要成体系：把”秩的定义 \(\to\) 子式刻画 \(\to\) 秩-零化度 \(\to\) Frobenius/Sylvester \(\to\) 分块初等变换”整理成一页纸的证明工具库。
  4. 伴随矩阵 + 矩阵方程联动训练：由 \(A^{*}\) 求 \(A\)、由 \(|A|\) 求 \(|A^{*}|\)、解 \(A^{*}BA=\dots\)，这三类在 9 套中出现 8 次。
  5. 新旧两代风格都要适应：老卷（2016–2022）练”长证明与 20 分大题”；新卷（2024–2025、2025-2026）练”填空速度”，尤其初等变换、置换矩阵、相抵、内积这些细节。
  6. 重点吃透 2024-2025 秋冬（21 题）这一套：它是唯一覆盖内积/欧氏空间、施密特正交化的秋冬期中卷，题量也最大，适合当综合训练。

附：原卷存疑/笔误与体例说明

以下问题在原始 PDF 中即如此，转写时一律照原卷保留，并在解析卷中以”注”的形式说明：

套卷 位置 原卷情况
2020-2021 秋冬 第 1 题 上对角元在 \((n-1,n)\) 处印作 \(3\)，与其余 \(-3\) 不对称（疑笔误）
2020-2021 秋冬 第 4 题 第三式印作 \(cx_1+bx_2+b=0\)，系数和不为 0（疑笔误）
2022-2023 秋冬 第 7 题 原卷”注”指出题面 \(D\) 为笔误
2016-2017 秋冬 第 2 题 题面称”齐次线性方程组”，实为非齐次（4 方程 5 未知量）
2019-2020 秋冬 第 1 题 行列式以 \(\cdots/\vdots\) 作独立占位元素，各行列数不齐（照原卷版式保留）
2017-2018 秋冬 全卷 各题分值相加为 103 分（按原卷印分值照录）
2024-2025 / 2022-2023 秋冬 全卷 原卷未印分值，故题头只写题号

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以下为根据各年度归档题目重新排版的练习版，非原卷扫描件。

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